יום רביעי, 28 באוקטובר 2009

על מתמטיקה, פיזיקה ופוליסמנטיות

לפני כארבעה שבועות כתבתי פוסט שעוסק במחשבות על פיזיקה, ובעקבות כך נשאלתי על ידי אחד הקוראים:
טענת כי הפיזיקה עתים מרובת משמעויות, ובעצם מושגים מסוימים הם מרובי משמעויות... אם הפיזיקה היא פוליסמנטית (רב-משמעית) הרי שהיא סותרת בכך את המתמטיקה. האם אתה מתנגד למתמטיקה כיסוד לפיסיקה?
אענה ואומר את דעתי בנושא. ראשית, אני רואה גם את המתמטיקה כפוליסמנטית במידה מסוימת. נכון שחישוב נותן בדרך כלל תוצאה אחת, אלא אם כן מדובר בפרדוקס הקשור בדרך כלל לפוליסמנטיות לשונית, וגם שיטת ההוכחה היא אמצעי חד-משמעי שנותן תשובה של כן או לא, אבל מצד שני יש במתמטיקה אפשרות בחירה. אפילו פעולות חישוב בסיסיות הן רב-משמעיות. כך למשל, פעולת חיסור יכולה להתייחס לכמה סוגי בעיות, כמו גריעה של איברים מקבוצה והשוואה בין שתי קבוצות ("בכמה קבוצה אחת גדולה מרעותה?"). אני בעצמי הופתעתי לא מזמן לגלות עד כמה המשמעויות הללו של חיסור שונות זו מזו וקשות להבנה עבור ילדים קטנים שמופתעים כשהם רואים שניתן לפתור שני סוגי בעיות בעזרת אותה פעולה. גם למושגים מורכבים יותר, כמו נגזרת ואינטגרל, יש במקרים רבים מספר משמעויות. ובכיוון אחר ובסיסי לא פחות: הבסיס האקסיומטי של תורות מתמטיות אינו חד-משמעי. קורט גדל הוכיח שעבור תורות מתמטיות אקסיומטיות מסוימות קיימת תמיד טענה אחת לפחות שלא ניתן להוכיח באמצעות האקסיומות וגם לא ניתן להפריך אותה בעזרתן. במילים אחרות, קיים חופש בבחירת מערכת אקסיומות שתתאר את אותה תורה מתמטית, מה שמצביע על רב-משמעות בניסוח הבסיס של אותה תורה.

כעת, לשאלת הפוליסמנטיות בפיזיקה. אני רואה בפיזיקה מידה לא מועטה של פוליסמנטיות. ראשית, ההסבר לתופעות יכול להתבסס על תורות פיזיקליות שונות ואפילו במסגרת אותה תורה פיזיקלית ייתכן שההסבר מבוסס על מושגים שונים. כדוגמה אביא את תופעת פליטת הקרינה על ידי חלקיקים מואצים, Bremsstralung, שניתן להסביר אותה, מטבע הדברים, בעזרת תורת הקוונטים שעוסקת בעולם המיקרו, אבל למרבה הפלא גם בלעדיה. גם מושגים בסיסיים, כמו מסה, מוגדרים בצורה שונה בהתאם לשימוש שנעשה בהם. ואם לפרט מעט: שני סוגי מסה מופיעים בעבודתו של ניוטון - מסה אינרציאלית בחוק השני ומסה כבידתית בחוק הכבידה. קיימת זהות בין שתי המסות הללו, כלומר יש לנו כבר שתי הגדרות למסה. בתורת היחסות של איינשטיין המסה מתקשרת לאנרגיה, ואילו במודל הסטנדרטי של החלקיקים מקורה של מסת חלקיק בעוצמת האינטראקציה שלו עם שדה ההיגס.

נקודת הסתייגות אחת: הפוליסמנטיות שמופיעה במדע היא מוגבלת, לפחות בכך שהיא צריכה להתיישב עם הלוגיקה, כלומר צריך שיהיה קשר בין הסברים שונים, ואם קיימות סתירות, מדענים מנסים ליישב אותן. מצב שבו יש משמעויות מנוגדות לתופעה אחת הוא מצב לא יציב, וקיים ניסיון מתמיד ליישב סתירות כך שהסברים שונים יחיו בשלום זה לצד זה. כך למשל, הסתירות שיש לכאורה בין תורת הקוונטים לתורת היחסות מעודדות את הפיזיקאים לנסח תורה שתוכל ליישב ביניהן.

מבחינת שאלת הקשר בין פיזיקה למתמטיקה, אני לא חושב שפיזיקה מבוססת על מתמטיקה. אני סבור שעבור פיזיקאים מתמטיקה היא כלי שמסייע בהתמודדות עם בעיות פיזיקליות ומאפשר ניתוח כמותי של גדלים והערכה כמותית של תוצאות ניסויים. ניתן לומר, אפילו, שלעתים שיטות מתמטיות מאפשרות את התפתחותה של הפיזיקה לכיוונים חדשים, ולעתים שני התחומים מתקדמים במקביל. כך למשל, חשבון וריאציות, שהוא שיטה לפתרון של בעיות מינימום ומקסימום, אפשר את התפתחותה של המכניקה מענף שניתן לכמת אותו בעזרת משוואות של כוחות לענף שבבסיסו משוואות של גדלים לא-וקטוריים (לגרנז'יאן והמילטוניאן). הגדלים הללו תפסו מקום גם בפיזיקה המודרנית של המאה ה-20, וליתר דיוק בתורת הקוונטים ובתחומים המבוססים עליה. דוגמה נוספת היא החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שפותח על ידי ניוטון ולייבניץ במקביל לעבודתו של ניוטון על יסודות המכניקה, ושני התחומים השפיעו האחד על השני.

יחד עם זאת, אני רואה את הבסיס לפיזיקה בהסברים האיכותיים לתופעות ולא בהסברים הכמותיים. המתמטיקה יכולה לתת תשובה כמותית, אבל בדרך כלל אין לה אפשרות להסביר "למה?" או להוביל לפיתוח תחום פיזיקלי חדש לגמרי. לדעתי, הדבר נובע מכך שהמתמטיקה מאפשרת חופש רב מאוד, ואילו הפיזיקה מוגבלת על ידי תופעות הטבע ותוצאות הניסוי, ועל כן הפיזיקאים צריכים לברור בקפידה את הכלים המתמטיים שבהם הם משתמשים ולבסס את עבודתם על תוצאות ניסויים ועל הבנה איכותית של תהליכים ותופעות.

7 תגובות:

Ehoud אמר/ה...

סיבות לפוליסמנטיות

לטעמי הפיסיקה באה לאגד תופעות. היתרון של הפיסיקה הוא בהפשטה, היא לוקחת עולם מורכב ובונה עבורו מודל כך שהמודל מכיל רק הגדלים הרלונטיים לתופעה. לדוגמא כדור נופל מתואר כנקודת מסה אין מתענינים בצבע שלו בחומר ממנו הוא עשוי ועוד... תיאור באמצעות מודל הינו כללי ולכן קל לזהות אותו עם תיאור מתמטי אבסטרקטי. רמות ההפשטה של המודל הן שונות, לדוגמא העולם המקרוסקופי המתואר על ידי התרמודינמיקה והניסיון לבסס אותו על אובייקטים מיקרוסקופיים וסטטיסטיקה, מוביל למכניקה הסטטיסטית. כיון שיש לנו תיאורים ברבדים שונים לאותם תופעות מופיעה פוליסמנטיות. הפיסיקה בפשטות התיאור שלה מבוססת על המתמטיקה אבל במהותה היא נגזרת מאופי המודל בו משתמשים לתיאור המציאות.

סיבה נוספת לפוליסמנטיות בפיסיקה הינה ההרחבה של תאוריות פיסיקליות המונעות מניסיון לכלול תופעות חדשות תחת מודל אחד. לדוגמא הרחבה של מכניקה קלסית ליחסות פרטית. יחסות פרטית ליחסות כללית ועוד... ההרחבות הללו יוצרות כפיליות של מושגים המקבלים משמעויות חדשות.

אנונימי אמר/ה...

ובכן,אני מצטער אך תרם הספקתי לקרוא את התגובה במלואה,ובכל זאת ארצה למה שכן קראתי להגיב,כיוון שזה בעצם תגובה כללית ולאו דווקא כתגובה לכתוב.

כאשר אני שאלתי על הפוליסמנטיקה הנוכחת בפיסיקה,התכוונתי שבתורה מסוימת יש אי רציפות,כלומר היא איננה תורה הגיונית.

עלי להבהיר מהי פוליסמנטיקה כיוון שבלשון המדוברת ההגדרה אינה צריכה להיות מדויקת אך כאשר אנו עוסקים במחקר עלינו להיות בהירי הגדרה,לפיכך פוליסמנטיקה היא ריבוי משמעיות שאינם חופפים זה בזה,דהינו אין זה ריבוי משמעיות המתאחד מבלי לעורר פרדוקס או אי רציפות אלא איחוד שלא דברים שאינם נוגעים זה בזה או של דברים המשלימים זה את זה.


לפי הגדרה זו המתמטיקה לעולם לא תהיה פוליסמנטית,ופה אני אשתמש בדוגמתך(שאגב לא רק ילדים קטנים נוטים להתבלבל בה אלא גם מבוגרים-אם תנסה ללמד מישהו חישובי גבולות ותיגש לעסוק בחלוקה באפס תראה שיש צורך להסביר את מהות החילוק)האם יש פעולת החיסור מקיימת איזו סתירה פנימית...ובכן לא.

עלינו להבין שלריבוי המשמעיות יש תכלית אך ורק כאשר הוא מעיד על דברים שונים,אך תורה פיסקלית בוודאי,וכמובן המתמטיקה,אינן יכולות להגיד שיעלה ויקטן,כפי שבלשון הדיבור אנו יכולים להגיד "ירד גשם אך עלה מפלס המים" שזהו משפט הגיוני ורציף כאשר אנו בוחנים את הפעלים,אך מילת הקישור איננה תקינה ומכאן גם המשפט לפי משמעות(אך-ניגוד כאשר יש לנו משפט סיבה ותוצאה-לפיכך,לכן,עקב זאת,בגין זאת... :) ) .


אני רוצה להדגיש שגדל לא טען לסתירה ולקריסה של כל תורה הגיונית,אלא הגביל את היכולת של השיטה ההגיונית או בעצם הרחיב עבור בדיקת משפט ביחס לתורה את אפשרויות התוצאה,וכדי להיות ברור אנסה שוב להסביר,אם אריסטוטל טען שמשפט בתורה או נכון או לא נכון גדל הרחיב את האפשריות ואמר שמשפט יכל להיות נכון,לא נכון ולא לא נכון ולא נכון.
ההוכחה הגיונית כלומר רציפה של גדל על אי רציפות התורה איננה מקום לפוליסמנטיקה מן הסוג שציינתי בתגובה זו,אלא מקום לריבוי משמעויות שניתן להוכיח שהמשמעויות אינן סותרות זו את זו.

בעצם אני חושב שבדיון הארוך אפשר להאשים את הפוליסמנטיקה,כיוון שנדמה לי שפירשנו פוליסמנטיקה כל אחד במשמעות אחרת-הפוליסמנטיקה פוליסמנטית :) .
על כן אני מניח שתסכים איתי על כך שעל התחומים חל ההיגיון ולכן חפים מפוליסמנטיקה כפי שהוגדרה לעיל.

בנוגע ליחס בין מתמטיקה ופיסיקה,אני איני יכל להעיד הרבה משום שאיני מכיר פיסיקה כל כך,אך העובדה שהמתמטיקה בונה את הגיאומטריה וליתר דיוק את הגיאומטריות בעצם מקלה על הפיסיקה באופן ניכר,משום שלא נדרש ממנה לבוא ולהגדיר את היסודות הבעייתיים,שהרי מושגים שהם נסתרים תפיסתית כמו הזמן הופכים פשוטים כאשר מגדירים אותם מתמטית,כפרמטר וכציר,אז כאשר אנו רואים בזמן כעוד ממד אין לנו את המחסום ההכרתי-תפסתי שמונע מאתנו להציע שאולי הזמן נע בכיוונים שונים.
אני סבור שאנו אומרים דברים זהים,אני הסברתי בתגובתי האחת שהבנתי כי המתמטיקה היא לשון הניסוח של הפיסיקה עקב היותה חד משמעית,ואתה מסביר שאתה רואה במתמטיקה כלי ביד הפיסיקאנים ,אתה מבדיל בין המתמטיקה ובין הפיסיקה,ופה אני מרגיש קצת אבוד,לא מבין :(.
כיוון שהניסוח המתמטי איננו היבט חלקי של הפיסיקה,אלא ההיבט השלם,נוסחאת התנועה כהגדרת מהירות היא ההיבט השלם של כל מה שנסיק לשונית והגיונית,המהירות היא נגזרת לפי זמן של הדרך,ועוד הרבה מסקנות מעמיקות,בעצם הפיסיקה כולה היא העמקה בתנועה וייחוסה לכל מיני מושגים,כמו חום(טמפרטורה ליתר דיוק) כמו פעפוע-דפוזיה ואנטרופיה,כמו מצב צבירה וכן הלאה.
העמקה בתנועה ייצוגה כאפשרות-פוטנציאל כאנרגיה שהיא בעצם קומבינציה של הפוטנציאל של תנע שהוא הדוק קשור באנרגיה אך גם בכוח(ניתן להציג את החוק השני של ניוטון גם כקשר של כוח ותנע).
אם אני מבין אותך אתה מתכוון לפוליסמנטיקה בהיבטים הרבים של נוסחא אחת?
אך שוב אני מדגיש כי אין משמעות לכך שדברים הם מרוביי משמעות אם הם אומרים דברים משלמים,יש משמעות לפוליסמנטיקה רק כאשר הדברים אינם הסקה זה מזה,כמו לומר על איש גוסס שהוא נובל או נשפך,זו פוליסמנטיקה ציורית מאוד אגב :) .

בכל אופן אני קצת מבולבל.

אריה מלמד-כץ אמר/ה...

לאהוד - אני מסכים לחלוטין עם הנקודה הראשונה שהעלית שמסבירה מקור אפשרי לקשר בין מתמטיקה לפיזיקה וגם מהווה מקור אפשרי לאותה פוליסמנטיות של הפיזיקה.
למעשה חשבתי להתייחס לנקודה זו בפוסט עצמו, אבל לא רציתי להאריך יותר מדי. טוב שהיא מופיעה כעת כתגובה ומשלימה את הנושא.

גם הנקודה השנייה מעניינת וחשובה ואני מודה שלא חשבתי עליה קודם לכן.
תודה.

אריה מלמד-כץ אמר/ה...

לאנונימי - תודה על תגובתך שהבהירה לי כעת את כוונתך. אני מבין שאתה מתכוון למקרים שבהם קיימת סתירה בין תורות שונות או אפילו סתירה פנימית בתוך תורה אחת. מצבים כאלו מעוררים פרדוקס, וזה מצב "לא יציב" שדוחף פיזיקאים ליישב אותו. לפעמים, לאורך ההיסטוריה, פרדוקסים הובילו להתפתחות פיזיקלית. לא ארחיב כאן את הדיבור על הפרדוקסים השונים, אבל אני יכול לציין למשל את פרדוקס השמדת המידע בחורים שחורים ואת פרדוקס EPR. גם במתמטיקה יש כמובן פרדוקסים וגם הם הובילו להתפתחויות, למשל פרדוקס ראסל.

לסיכום, אומר שהמדע אמור להיות הגיוני, בסופו של דבר, אבל הדרך לשם עוד ארוכה. כפי שציינתי בעבר, אני לא חושב שתאוריה של הכל היא מטרה אפשרית, אבל אולי בניית מדע הגיוני ללא סתירות פנימיות היא מטרה ריאלית יותר.

אנונימי אמר/ה...

ובכן,אריה,המצב אולי היציב ביותר הפיסיקה היא התשתית ההגיונית(כך גם תפתר אי הרציפות שהוכיח גדל) אך המרחק בין ההיגיון ובין העולם רב מאוד,העולם נראה לנו בגוונים רבים אף על פי שכאמור ניתן לייצג את כל גווני לפי יש-אין,אמת-שקר ולפי הבלשנות בלשון בינארית.
כדי לגשר על הפער הזה אנו יוצרים מספר רב של לשונות מתווכות(-סרסרויות) לשון הדיבור ולשון המתמטיקה.
כמובן שבכל אשר נעשה נניח ונמשג,אבל כפי שניתן להבין ככל שהפיסיקה תשאף למתמטיקה,כלומר תפחית בהנחותיה ותבנה כמה שיותר מהנחות המתמטיקה הרי שאנו מתקרבים לתורה של כל.
אני אישית חושב שהמושג תורה של כל הינו המוני ופזרני מדי,מעט יותר מדי כדי לרכוש את אהדת הקורא לפיסיקה,על הפיסיקן לנסות את המציאות לא לנסות את הפיסיקה(אף על פי שעל הפיסיקן לעסוק לא רק בפילוסופיה של הטבע-הפיסיקה אלא גם בפילוסופיה של המדעים),כלומר להציר על הטבע ולא על הפיסיקה.
אם נבחן את התיאוריה של ניוטון נוכל להשתית אותה על הגיאומטריה האוקלידית הוספת ציר זמן למרחב,שכמובן הוא איננו ציר משותף בו(ניוטון) והגדרת פרמטר אחד,מסה שהוא בדיד-גופיפי,בעצם ע"י שתי הנחות(כיוון הזמן,והגדרת מסה כפרמטר שהוא בדיד)אנו בונים את כל המושגים עד לחוק השני,שהוא לב לבה של התורה הניטונית למיטב הבנתי.

הבעיה במציאת מדע שאיננו מכיל סתירות פנימיות ניתנת לפתרון ע"י צימצום הגדרת המדע,כלומר אם נחליט כי על המדע להיות עקבי(ואני בכוונה לא אומר רציף כדי לא לסתור עם הוכחת גדל :) ) הרי שהמדע יצמטמם לתורה פיסיקלית אחת וההשלכות הכימיות שלה, בערך.

Gadi אמר/ה...

כרגיל אני רוצה לנטפק את מה שאתה מייחס לגדל. גדל הוכיח שעבור תורות מתמטיות *מסויימות* ("עקבית, אריתמטית ואפקטיבית") קיימת טענה שאינה יכיחה וגם שלילתה אינה יכיחה ("תורה המבוססת על אקסיומות" לא אומר הרבה - כל התורות המתמטיות שאני מכיר הן כאלו).

זה היה ניטפוק קל. את ההמשך, לעומת זאת, אני באמת לא מבין - איך משפט גדל מראה ש"קיים חופש בבחירת מערכת אקסיומות שתתאר את אותה תורה מתמטית"? הרי כפי שראינו, אם כבר יש לנו *מגבלה* על בחירת האקסיומות - למעשה, משפט גדל אומר "תשכחו מזה, יש תורות שלא תוכלו לתאר באופן מושלם באמצעות אף מערכת אקסיומות, רק 'לקרב' אותן" (אני משתמש כאן במילה "תורה" באופן חופשי למדי - בדרך כלל כשמתמטיקאי אומר "תורה" הוא מתכוון בדיוק למערכת האקסיומות).

מה שמשפט גדל *כן* מראה ורלוונטי לטיעון שאתה מעלה כאן הוא שעבור אותן מערכות אקסיומות שמשפט גדל חל עליהן, קיימות לפחות שתי "פרשנויות" שונות ("מודלים", בלשון הפורמלית) שיש ביניהן הבדלים מהותיים, אבל לא כאלו שמערכת האקסיומות מצליחה לתפוס. דוגמה מפורסמת לכך (שלא נובעת ישירות ממשפטי גדל) היא השערת הרצף - במובן מסויים יש שתי פרשנויות שונות אפשריות לתורת הקבוצות האקסיומטית, כאשר בפרשנות אחת השערת הרצף נכונה, ובפרשנות השניה היא איננה נכונה. זוהי דוגמה ל"ריבוי המשמעויות" שיש במתמטיקה.

אריה מלמד-כץ אמר/ה...

היי גדי, תודה על התגובה. נחמד שקפצת לבקר :-)

הנה תגובותיי, מחולקות לפי הפסקאות שרשמת:

פסקה 1: אני מסכים בהחלט. אתקן את המשפט בפוסט עצמו כך שלפחות לא יהיה שגוי, אך לא אכנס לניסוח המדויק.

לגבי השאלה אם כל תורה מתמטית מבוססת על אקסיומות - ייתכן שאנו חלוקים בהגדרה של תורה מתמטית. אני טוען שתורה היא אוסף של כללים, ולאו דווקא של אקסיומות. ייתכן שקיים ניסיון לנסח מערכת אקסיומות לכל תורה, אך ברור שלפחות מבחינה היסטורית קיימות נקודות זמן שבהן תורות אינן אקסיומטיות. ניקח למשל את תורת ההסתברות - היא הייתה קיימת, ואף השתמשו בה באופן נרחב, גם לפני שקולמוגורוב ניסח את האקסיומות שלה. אגב, שמעתי שמאוחר יותר הוא חזר בו לתקופה קצרה ולפחות באספקט היסטורי לתורת ההסתברות שוב לא היו אקסיומות לזמן זה...

פסקה 2: נניח שמשפט גדל שגוי ובתורה מתמטית העונה על הקריטריונים ניתן להוכיח או לשלול כל משפט במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת. למערכת אקסיומות כזו יש יתרון על פני מערכות אחרות וסביר להניח שהיא תיבחר בתור מערכת האקסיומות של התורה. עקב משפט גדל אנו נאלצים לחיות עם מצב שבו ייתכנו כמה מערכות אקסיומות שאף אחת מהן אינה שלמה במובן שניתן בעזרתה להוכיח או לשלול כל משפט של התורה.
הנקודה החלשה בטיעון שלי היא שאם משפט גדל לא היה נכון, היה יכול להתקיים מצב שבו מספר מערכות של אקסיומות הן שלמות וגם אז היה קשה לבחור. ניתן להתחמק מזה ולומר שאז היינו נאלצים לבחור את כולן ושוב מאבדים את חופש הבחירה.

פסקה 3: דוגמה מצוינת. תודה רבה.