יום שבת, 20 ביוני 2009

חוק המספרים הקטנים

בשנת 1971 פרסמו עמוס טברסקי ודניאל כהנמן מאמר פסיכולוגי שנקרא "אמונה בחוק המספרים הקטנים". שם הם טבעו לראשונה את המושג. מדובר בנטייה לתת משקל גבוה למדגמים קטנים. אנו נוטים לחשוב שתוצאה שהתקבלה במספר קטן של בדיקות היא תוצאה כללית, אף על פי שייתכן שהמדגם המצומצם אינו מייצג כלל. לפעמים ההכללה ממקרים בודדים לתוצאה כללית יותר נובעת מצורך פסיכולוגי לסכם ממצאים ולהבין את משמעותם בשפה פשוטה בעוד שבפועל לא תמיד יש אמצעים לבצע מדגם גדול. קוראים לכשל הזה הכללה חפוזה (hasty generalization). בפוסט הקודם הזכרתי את החבר שלי שהסיק מניסיונו האישי שניתן לקבוע את מין העובר מראש. כאמור, מדגם רחב שהתפרסם בכתב עת מדעי הראה שהשיטה הזו לא עובדת. כשל המהמר הוא דוגמה אחרת הקשורה לחוק המספרים הקטנים. אם זרקנו קובייה והמספר 5 הופיע שלוש פעמים ברצף, אנו נוטים לחשוב שההסתברות לקבל את המספר 5 גם בפעם הרביעית היא אפסית, בעוד שבפועל ההסתברות לא השתנתה והיא עדיין עומדת על שישית.

השם של "חוק המספרים הקטנים" אינו מקרי - מקורו בחוק המספרים הגדולים. חוק המספרים הגדולים אומר במילים פשוטות שמדגם גדול ייתן שגיאה קטנה באומדן של גדלים. כלומר, ככל שמגדילים את התצפית אנו מקטינים את השגיאה הסטטיסטית וההערכה שלנו מתקרבת לערך האמיתי. השם "חוק המספרים הקטנים" מרמז שבהתאם לאינטואיציה האנושית החוקיות של מדגמים קטנים דומה לחוקיות של מדגמים גדולים, בעוד שבפועל אין הדבר כך. לדוגמה, אם אזרוק קובייה אלף פעמים כל אחד מששת המספרים האפשריים יתקבל בערך בשישית מהמקרים, אבל אם אזרוק את הקובייה שש פעמים בלבד יש סיכוי לא רע שמספר אחד מתוך השישה יתקבל פעמיים או אפילו שלוש פעמים ואילו מספר אחר לא יתקבל כלל.

בסטטיסטיקה קיימים כלי ניתוח מדויקים שנועדו להעריך את טיב האומדן (estimation theory). על מנת לקבל את סדר הגודל של השגיאה אני בדרך כלל משתמש בהערכה ראשונית גסה לפיה השגיאה שווה לשורש ריבועי של גודל האומדן. מכאן נובע שהשגיאה היחסית (שגיאה חלקי גודל האומדן) יורדת כשהאומדן גדל. בהתאם לכך סקרים רחבים אמינים יותר מסקרים מצומצמים. אגב, בסקרים פוליטיים שמתפרסמים בעיתונים יש בעיה נוספת: השאלה לא תמיד ברורה ולא תמיד רלוונטית. קשה להעריך את מידת ההטיה שנובעת מכך, ולכן אני בדרך כלל לא מתייחס לתוצאות שלהם. בשפה סטטיסטית אומרים שבסקרים כאלו יש גם שגיאה שיטתית ולא רק שגיאה סטטיסטית. קיימת לעתים גם הצגה שקרית של תוצאות סקרים, אבל זו כבר בעיה אחרת.

באותו הקשר, בשנת 1980 הגה חובב החידות המתמטיות מרטין גרדנר את "החוק החזק של המספרים הקטנים": אין מספיק מספרים קטנים על מנת למלא את כל הדרישות שבהן עליהם לעמוד. זהו שם הומוריסטי לתופעה שבה נתקלים חובבי חידות מתמטיות. נראה לעתים שסדרה של מספרים קטנים ממלאת חוקיות מסוימת, אבל אם ממשיכים הלאה החוקיות נשברת בסופו של דבר. למשל, ארבעת המספרים האי-זוגיים הראשונים הם המספר 1 או מספר ראשוני (1,3,5,7). אם ממשיכים את הסדרה רואים שכלל זה אינו נכון משום ש-9 אינו ראשוני. קיימות דוגמאות משעשעות נוספות ל"חוק" הזה.

האם ניתן לקבוע מראש את מין העובר?

סיפרתי לחבר שלפני שלושה חודשים נולדה לי בת אחרי שלושה בנים. "בהיריונות הראשונים לא הייתה לנו העדפה", אמרתי לו, "אבל בהיריון הזה קיווינו בסתר לבנו שזו תהיה בת". "למה לא השתמשתם בשיטות מדעיות", הוא ענה, "הרי יכולתם לקבוע את מין העובר כבר בתחילת הדרך!". התפלאתי, והוא הסביר לי בפרוטרוט על ההבדל בין תאי זרע מסוג X לתאי זרע מסוג Y. ידעתי שמין העובר נקבע לפי תא הזרע, וליתר דיוק לפי זהות כרומוזום המין של התא - כרומוזום X יוביל להתפתחות נקבה וכרומוזום Y להתפתחות זכר - אבל לא ידעתי שקיימים הבדלים בין תאי זרע משני הסוגים.

כשחזרתי הביתה בדקתי בספר ההיריון שלנו, "היריון מושלם" שמו. להפתעתי מצאתי בעמוד 29 חזרה מדויקת על דברי החבר. בכל זאת זה נראה לי מוזר. סיפרתי על כך לג'ודי - היא בדרך כלל לא טועה, בוודאי שלא בעניינים כאלו. אשתי צחקה במשך דקה שלמה, והלכה לענייניה. היא אפילו לא הייתה צריכה לומר לי מה היא חושבת על כך. מובן שהאמנתי לה, אבל ליתר ביטחון החלטתי לבדוק את הנושא לעומק, כלומר באינטרנט.

מצאתי מהר מאוד את התשובה. התאוריה הזו, שיטת שטלס (Shettles method), התפרסמה בתחילת שנות ה-70 בזכות ספר שכתבו שטלס ורורוויק (Rorvik): "כיצד לבחור את מין התינוק שלך" (How to Choose the Sex of Your Baby). אגב, אותו רורוויק טען בספר מאוחר יותר שהוא היה שותף לניסיון המוצלח הראשון לשבט אדם. טענה זו התבררה כמובן כשקר, אבל הספר זכה להצלחה. בחזרה לשיטת שטלס: שטלס ורורוויק טוענים שתאי זרע מסוג Y מהירים יותר מתאי זרע מסוג X, ובנוסף הם רגישים יותר לסביבה חומצית. לכן ,זוג שמעוניין בבן צריך לקיים יחסי מין בסמוך למועד הביוץ, בעוד שזוג המעוניין בבת צריך לקיים יחסי מין מספר ימים לפני מועד הביוץ. בספר של שטלס ורורוויק קיימות המלצות אינטימיות נוספות, אך זו ההמלצה העיקרית.

שיטת שטלס נבדקה בצורה מדוקדקת בשנת 1995 והממצא היה חד-משמעי: אין בה אמת. לא נמצא שום קשר בין מועד יחסי המין יחסית לביוץ ובין מין העובר. אני סבור שלא במקרה המיתוס מחזיק מעמד זמן כה רב. אומנם מדובר בנקודה חשובה בכל הנוגע לבניית משפחה, אבל בעצם די קשה לבדוק את השיטה בצורה מדויקת. הסיבה המרכזית היא שבמשפחה אחת אין מספיק ילדים על מנת לקבל מדגם סטטיסטי מייצג ולכן אנשים עלולים להסיק ממקרים בודדים שהשיטה נכונה (חוק המספרים הקטנים). מה עוד שקשה לדעת את המועד המדויק של הביוץ ללא בדיקת שתן יומית במעבדה. בדיקה מדוקדקת יכולה להיעשות רק על ידי חוקרים בקיאים בשיטות סטטיסטיות שנמצאים בקשר עם מספר גדול של מתנדבות אשר מוכנות למסור בדיקת שתן יומית במשך כמה חודשים.

הערת סיום: בהפריה חוץ-גופית הסיפור שונה לגמרי. שם ניתן לדעת את מין העובר בטרם הכנסתו לרחם. עוד על כך במאמר המעניין של שלומית עוזיאל-רז, "בן או בת בסופרמרקט הגנטי", שהתפרסם בגליליאו 112 (דצמבר 2007). בנוסף לכך, קיימת שיטה של מיון זרע שיכולה להגדיל את הסיכוי לקבוע את מין העובר בהפריה חוץ-גופית. היא מבוססת על צביעה של תאי הזרע בצבע פלואורסנטי שנצמד לדנ"א. כרומוזום X גדול מכרומוזום Y ולכן הוא יקלוט כמות גדולה יותר של צבע. הנוזל עובר דרך ציטומטר זרימה (flow cytometer) בצורת טיפות זעירות שכל אחת מהן מכילה תא זרע בודד. שם הוא מואר באור על-סגול והטיפות נטענות במטען חשמלי בהתאם לצבע. אחר כך הן ממוינות בעזרת שדה חשמלי. השיטה מיושמת כיום בגידול חיות משק, ועבור פרות ההצלחה בקביעת המין מגיעה ל-90%.

הגרסה המלאה של המאמר מ-1995:

יום רביעי, 17 ביוני 2009

האם מראה מחליפה בין ימין ושמאל?

אני מסתכל במראה, מרים את יד ימין ורואה מישהו דומה לי במראה אשר מרים את יד שמאל. האם המראה באמת מחליפה בין ימין ושמאל, ואם אכן כך אז למה היא לא מחליפה בין למעלה ולמטה?

זאת שאלה ממש לא פשוטה ולא אינטואיטיבית, וגם כששומעים את ההסבר עדיין קשה לעכל אותו. אני מציע לחשוב על זה כמה ימים.

תחילה, ההסבר של ריצ'ארד פיינמן:



הייתי רוצה להוסיף כמה מילים. המראה מציגה דמות (בבואה). זו דמות דמיונית, אבל היא נראית כל כך אנושית שקל לנו לזהות אותה עם בן אדם. מה שגורם למוח להתבלבל זו הסימטריה בין הצד הימני שלנו לצד השמאלי. אומנם חלק מהאיברים הפנימיים נמצאים בצד אחד של הגוף, אבל לפחות כלפי חוץ זו סימטריה כמעט מושלמת. למוח קל יותר לחשוב שהדמות במראה היא אדם שדומה לנו ורק צד ימין וצד שמאל התחלפו. כלומר זה אדם שצד ימין שלו זהה לצד שמאל שלי וצד שמאל שלו זהה לצד ימין שלי.

ומה היה קורה אם היינו בנויים אחרת? נניח שהיה לנו ראש למעלה וראש זהה למטה (במקום רגליים) והידיים היו מתחברות לגוף במותניים ולא בכתפיים, כך שבנוסף לסימטריה של ימין-שמאל הייתה לאותם יצורים גם סימטריה של למעלה-למטה. במקרה כזה היה לנו קשה להחליט אם המראה החליפה בין ימין-שמאל או בין למעלה-למטה. זה היה נראה הגיוני באותה מידה שעומד שם יצור דומה לנו שממשיך להזיז את יד ימין אבל עומד על הראש השני שלו. צריך רק לדמיין יצור כזה בעל שני ראשים, אחד למעלה ואחד למטה, ולחשוב איך הוא היה נראה במראה.

בואו נמשיך עוד צעד. נניח שלאותו יצור בעל שני ראשים הייתה רק יד אחת, כלומר לא הייתה לו סימטריה בין ימין לשמאל. במקרה כזה היינו מפרשים את הדמות במראה רק בצורה אחת - יצור שעומד על הראש השני שלו. המראה כבר לא הייתה הופכת בין ימין לשמאל, ואותם יצורים היו חושבים שהמראה הופכת אך ורק בין כיוון למעלה לכיוון למטה.

יצור דמיוני בעל שני ראשים ויד אחת המסתכל במראה. הוא לא מכיר יצורים בעלי יד שמאל, ולכן לבבואה שהוא רואה יש יד אחת, שהיא יד ימין, ולדעתו היצור המשתקף במראה עומד על הראש. כלומר, עבורו, המראה הופכת בין כיוון למעלה לכיוון למטה, אך לא בין ימין לשמאל.

נשאר עוד מצב אחד לטפל בו - בני אדם עם ראש אחד, אך בעלי יד אחת. נניח שכתוצאה ממוטציה חסרה לכולנו יד שמאל. כעת אין לנו סימטריה של ימין-שמאל וגם לא של למעלה-למטה. במקרה כזה היינו חושבים שהדמות במראה איננה אנושית, משום שחסרה לה יד ימין, והרי בעולם הדמיוני שבנינו אין אנשים כאלו.

יום שבת, 13 ביוני 2009

למה אסטרונאוטים מרחפים במעבורת החלל?

זאת שאלה שרבים טועים בה. אמנם אסטרונאוט שנמצא בחללית רחוקה מכדור הארץ כמעט שלא ירגיש את כוח הכבידה וירחף בחללית, אבל מעבורת החלל ותחנת החלל טסות בגובה נמוך יחסית. אני לא כל כך אוהב נוסחאות, אך בכל זאת עשיתי לי הרגל להשתמש בהן לצורך חישובים פשוטים, כאלו שאפשר לעשות על פתק קטן או על גב מעטפה. הפעם הייתי צריך רק מחשבון. מעבורת החלל טסה בגובה של כ-350 ק"מ מעל פני כדור הארץ. אם מציבים בנוסחה של תאוצת הכובד מרחק של 6,750 ק"מ במקום 6,400 ק"מ (רדיוס כדור הארץ) רואים שתאוצת הכובד במעבורת החלל קטנה בערך ב-10% יחסית לתאוצה על פני כדור הארץ (8.8 מטר לשנייה בריבוע במקום 9.8 מטר לשנייה בריבוע). אם כך, כוח הכובד שפועל במעבורת החלל אינו קטן באופן ניכר מכוח הכובד שפועל על פני כדור הארץ, ולכן יש לחפש הסבר אחר לתופעת הריחוף במעבורת החלל.

שחמט בחלל. מקור: נאס"א

ההסבר הפשוט הוא שתאוצת הכובד פועלת על מעבורת החלל ועל האסטרונאוטים באותה מידה, כלומר הם נמשכים באותה עוצמה כלפי כדור הארץ. המשיכה הזו מתבטאת בתנועה במסלול סביב כדור הארץ של המעבורת וגם של האסטרונאוטים. בפועל הם נעים יחד ולכן לאסטרונאוטים אין תנועה יחסית למעבורת והם מרחפים בתוכה. זה המקום להעיר שבמצב כזה שבו הכוח היחיד הפועל על גוף הוא כוח הכובד, אנו אומרים שהגוף נמצא בנפילה חופשית. אם יש לו מהירות אופקית התחלתית בגודל הנכון הוא לא ייפול לעבר מקור כוח הכובד אלא יסתובב סביב אותו מקור. הנפילה החופשית מתבטאת בתנועה במסלול ללא השקעה של כוח חיצוני. ואכן המעבורת לא מפעילה את המנועים שלה כשהיא במסלול. בכלל, הפעלת מנועים של לוויינים (מעבורת החלל היא לוויין של כדור הארץ כשהיא במסלול) נעשית רק לצורך תיקוני מסלול.

למעשה, השאלה בכותרת של הפוסט מהותית יותר. לא מדובר רק באותה תנועה של שני הגופים (האסטרונאוט והמעבורת) וריחוף פיזי בתוך המעבורת, אלא עצם התחושה שיש לאדם שנמצא בנפילה חופשית. ובכן, התחושה של חוסר משקל מורגשת על ידי כל מי שנמצא בנפילה חופשית, בין אם הוא נמצא בתוך המעבורת או שהוא יוצא למשימה מחוץ למעבורת ואפילו אם הוא קופץ חלילה מראש מגדל. מי שעומד על הקרקע מרגיש את המשקל של עצמו בגלל שהקרקע מפעילה עליו כוח זהה למשקל שלו בכיוון ההפוך. המשקל הוא בעצם כוח הכבידה שמופעל על עצם שנמצא על פני כדור הארץ, ואילו הכוח שמופעל על העצם חזרה מהמשטח קרוי המשקל הנדמה (apparent weight). תחושת המשקל נובעת דווקא מקיומו של המשקל הנדמה, ותחושת חוסר-משקל נובעת מאי-קיומו של משקל נדמה במצב של נפילה חופשית.

איינשטיין סיפר ב-1922 על הניצוץ הראשון של תורת היחסות הכללית, 15 שנה קודם לכן:
ישבתי על כיסא במשרד הפטנטים בברן. לפתע עלתה בראשי מחשבה: אם אדם נופל בנפילה חופשית, הוא לא מרגיש את המשקל של עצמו. נדהמתי. הניסוי המחשבתי הפשוט הזה הותיר עלי רושם חזק. זה הוביל לתורת הכבידה.
קרוב לוודאי שהמחשבה הזו, שאותה הגדיר איינשטיין בתור "המחשבה המאושרת ביותר בחיי", לא הייתה מקורית לחלוטין אלא עלתה בראשו בעקבות קריאת ספרו של ארנסט מאך, אחד המדענים שהשפיעו עליו יותר מכול. אך איינשטיין הרחיב את הרעיון וניסח את עקרון השקילות: תנועה בשדה כבידה שקולה לתנועה במערכת מואצת. עקרון השקילות איפשר לאיינשטיין להתמודד עם הכבידה באמצעות ניתוח של מערכות מואצות ולהתאים את תורת הכבידה לעקרונות תורת היחסות. תוך שמונה שנים הוא הצליח לנסח את תורת היחסות הכללית.

אנסה להסביר קצת את עקרון השקילות ואת הקשר לנפילה חופשית. כאמור, אדם שנמצא בחללית רחוקה מכדור הארץ מרגיש חוסר-משקל והוא מרחף בחללית, אבל אם החללית מתחילה להאיץ קדימה, האדם נע בתוך החללית לכיוון ההפוך - אחורה. אפשר לחשוב על זה כך: לא פועל על האדם כוח ולכן הוא נוטה להמשיך באותה מהירות (החוק הראשון של ניוטון), אבל החללית החלה להאיץ קדימה, ולכן הוא נזרק לכיוון הקיר האחורי. כשהאדם יתנגש בקיר החללית הוא יתחיל להרגיש את הכוח שמפעיל עליו הקיר. בצורה דומה אדם שעומד על קרקע של כוכב לכת נמשך לעבר מרכז כוכב הלכת ומרגיש את הכוח שמפעילה עליו הקרקע (המשקל הנדמה). אדם בנפילה חופשית נמצא במצב מיוחד - מצד אחד פועלת עליו כבידה ומצד שני הוא נמצא במערכת מואצת. שני הגורמים הללו מבטלים האחד את השני (לפי עקרון השקילות - כבידה שקולה לתאוצה כלפי מעלה) והאדם מרגיש חוסר-משקל.

לסיום, אני רוצה לקחת את הנושא של נפילה חופשית צעד אחד קדימה ולהתבונן על היקום כולו. עקרון מאך קובע שעל מנת לנתח התנהגות של מערכת יש לקחת בחשבון את ההשפעה עליה של כל המסות ביקום. אני אישית רואה זאת כך: גופים נמצאים במצב של נפילה חופשית יחסית לשאר העצמים ביקום, והכוונה לכל גוף שהכוח היחיד שפועל עליו הוא כבידה. זה יכול להיות אדם מרחף בחלל, כוכב לכת, כוכב, גלקסיה או אפילו צביר גלקסיות. בהקשר זה, גלקסיות נמצאות בנפילה חופשית גם ביקום המתרחב, ולכן לא פועל עליהן כוח מעצם התפשטות היקום.

מאמר יפה של צבי עצמון על נושא זה: כבידה חסרת משקל, התפרסם בגלילאו 76, דצמבר 2004.

לקריאה נוספת בבלוג זה: כוח ג'י (g-force)

הסרט Home

קיבלתי המלצה מאלעד, קורא של הבלוג ותלמיד בפרויקט ח"צ במכון ויצמן, על סרט חדש בשם Home. הסרט, שאורכו שעה וחצי, יהיה זמין לצפייה ביוטיוב למשך מספר ימים ובמקביל הוא מוקרן בבתי קולנוע במדינות רבות בעולם.

צפיתי בסרט ונהניתי, בעיקר מצילומי האוויר המרהיבים. מלבד בחירת הנושאים המעולה, גם איכות הצילום גבוהה במיוחד. הבמאי השתמש במצלמה של Cineflex מחוברת למסוק. מדובר במצלמת וידאו בעלת רזולוציה גבוהה המיוצבת בעזרת גירוסקופ נתון במערכת של גימבלים. גירוסקופ כזה, שמסתובב במהירות מספיק גבוהה, ימשיך להסתובב סביב אותו ציר גם כשבסיס המתקן המחובר למערכת הגימבלים אינו יציב. המצלמה שמחוברת לציר ממשיכה לצלם באותו כיוון גם בעת תנועה של המסוק, למשל כשהוא משנה כיוון או מסתובב במקום.

הדבר היחיד שקצת אכזב אותי הוא המלל הנלווה לסרט. הסרט מציג גישה אקולוגית שבהחלט מקובלת עלי ואני מזדהה איתה, אבל האמירות שלו פשטניות מדי בעיני. אני מתאר לעצמי שהכוונה של כותבי הטקסט הייתה להעביר מסר פשוט וברור, והם עושים זאת בהצלחה, אבל הייתי מצפה שיהיה בו קצת יותר מידע, ושהוא ילמד את הצופה הממוצע דברים חדשים שהוא טרם שמע עליהם ממקורות אחרים. אפשרות אחרת היא להסתפק בצילום מלווה במוזיקה. לדעתי המסר ברור דיו גם ללא מילים. זה למשל מה שבחרו לעשות בסרט Baraka הנהדר מ-1992.

לסיכומו של דבר נהניתי מאוד ותודה לאלעד.

עדכון: נכון לינואר 2010 עדיין ניתן לראות את הסרט המלא ביוטיוב