יום ראשון, 29 באוגוסט 2010

היום האחרון של פומפיי

אם יש לכם שעה פנויה אני ממליץ על סרט של ה-BBC המתאר את היום האחרון של העיר פומפיי, שנחרבה בהתפרצות הר הגעש וזוב בשנת 79 לספירה. הסרט מבוסס על שחזור מדויק של האירועים הוולקניים, ושזורים בו קורותיהם הדמיונייים של מספר תושבים ששרידיהם נמצאו בחפירות העיר. בעזרת השרידים הללו הרכיבו יוצרי הסרט תיאור של היום האחרון בחייהם.
הסרט נקרא: Pompeii - The last day


אחד הגיבורים של הסרט הוא פליניוס הזקן שיצא לחלץ את ידידיו מהתופת. אחיינו, פליניוס הצעיר, נשאר במיסנום וצפה בהתפרצות מרחוק, עד שענן האפר הגעשי הגיע גם לשם והוא נאלץ לברוח. שנים מאוחר יותר הוא כתב תיאור מפורט של האירועים בשני מכתבים שאותם שלח לידידו ההיסטוריון קורנליוס טקיטוס (המכתב הראשון והשני).

התיאור של ההתפרצות המופיע במכתביו של פליניוס הצעיר הפך למעין תיאור סטנדרטי של סוג מסוים של התפרצות געשית. התפרצות כזו, המכונה התפרצות פליניאנית, מתאפיינת בעמוד של גז ואפר געשי המגיע לגובה של עשרות קילומטרים. הסכנה לתושבים המתגוררים במרחק של עשרות קילומטרים מהר הגעש נובעת משתי תופעות שמתרחשות אחרי ההתפרצות הראשונית. התופעה הראשונה היא גשם של אפר ושל סלעים קלים ונקבוביים הקרויים פומיס, והשנייה היא זרם פירוקלסטי הרסני המורכב מגזים ומסלעים חמים מאוד. הזרם הפירוקלסטי יוצא מהר הגעש, מתגלגל במורד ההר ומתקדם במהירות רבה על פני הקרקע, ותוך כדי כך משמיד כל מה שנמצא בדרכו. מרבית תושבי פומפיי ושאר הערים שנפגעו מההתפרצות של 79 נהרגו כנראה בגלל הזרמים הפירוקלסטיים.

מיפוי של הר הגעש וזוב וסביבתו באמצעות מכ"ם שהוצב על מעבורת החלל אנדוור
מקור: NASA

ולגבי השאלה המסקרנת והחשובה אם אסון בסדר גודל כזה יכול להתרחש שוב, התשובה היא כן. הווזוב עדיין פעיל וסביר מאוד שתתרחש התפרצות חזקה בעתיד. נכון שיכולת החיזוי שלנו לגבי התפרצות הר הגעש השתפרה מאז ימי פומפיי, וניתן לצפות את ההתפרצות כמה ימים מראש, אבל לא בטוח שזמן זה יספיק על מנת לפנות את מיליוני האנשים החיים בנאפולי ובסביבתה. עוד על כך בסרט מעניין מ-2007 העוסק בהר הגעש וזוב.

 בפומפיי פזורים העתקי גבס של אנשים כפי שנראו ברגע מותם. ההעתקים הוכנו על ידי מילוי חללים בקרקע שמקורם באותם אנשים שכוסו באפר געשי. התצלום נעשה על ידי בעת ביקור בפומפיי ב-1999.

יום שישי, 27 באוגוסט 2010

מנגנון היצירה של חורים שחורים סופר-מסיביים

מדע האסטרונומיה עבר התפתחות מרשימה במהלך עשרים השנים האחרונות והידע שלנו אודות היקום בכלל ואודות היקום הקדום בפרט התרחב באופן ניכר. אחת התגליות החשובות בתקופה זו היא ההבנה שבמרכזה של כל גלקסיה נמצא חור שחור סופר-מסיבי. מדובר בחורים שחורים בעלי מסה שקולה למיליוני מסות שמש לכל הפחות (למשל בשביל החלב), ובמקרים לא מעטים אפילו מיליארדי מסות שמש.

בילדותי הרביתי לקרוא על אסטרונומיה, ואני זוכר כיצד הוקסמתי מתיאור הקוואזרים האדירים. אז לא היה הסבר לקרינה החזקה הנפלטת מהם וזה רק הוסיף לסקרנות שלי. היום ידוע שמדובר בחורים שחורים סופר-מסיביים הנמצאים במרכזן של גלקסיות רחוקות. הקרינה שמגיעה מהם נפלטה ביקום הצעיר, וקוואזרים אלו, יחד עם חורים שחורים סופר-מסיביים נוספים שהתגלו בשנים האחרונות, שופכים אור על הרכבו של היקום הקדום. בעזרת התצפיות הללו ידוע שהגלקסיות הקדומות נוצרו ביקום בן מאות מיליוני שנה בלבד, וכי חורים שחורים סופר-מסיביים נוצרו בערך באותה תקופה.

אילוסטרציה של חור שחור סופר-מסיבי שנוצר לפני כ-13 מיליארד שנה (גיל היקום הוא כ-13.7 מיליארד שנה). מקור: NASA

מנגנון יצירתם של החורים השחורים הענקיים נותר בגדר תעלומה. כפי שכתבתי בפוסט אודות התגליות הפיזיקליות של המאה ה-21 - אני סבור שהבנת מנגנון יצירתם והבנת הקשר בינם ובין גלקסיות האם שלהם הן מטרות חשובות של המחקר האסטרונומי בימינו. ובכן, ייתכן שרמז ראשון התגלה זה עתה: בעזרת כלי סימולציה הצליחו מדענים להסביר את מנגנון יצירתם. כך מדווח אתר ScienceDaily המתאר מאמר של קבוצת חוקרים מארצות הברית, שווייץ וצ'ילה (L. Mayer, S. Kazantzidis, A. Escala & S. Callegari) שהתפרסם בנייצ'ר.

מקורם של חורים שחורים, הנוצרים בימינו, בכוכבים מסיביים שמסיימים את מלאי הדלק הגרעיני שלהם וקורסים לתוך עצמם בהשפעת כוח הכבידה שלהם. משערים שמרבית הכוכבים ביקום הקדום היו ענקיים - המסה שלהם הייתה גדולה פי כמה מאות ממסת השמש שלנו. למרות זאת, קריסה כבידתית של כוכבים כאלו (metal-free stars, population III stars) שסיימו את מלאי הדלק הגרעיני שלהם לא מצליחה להסביר את היווצרותם של קוואזרים בעלי מסות הרבה יותר גדולות. מסה אופיינית של קוואזר גדולה פי למעלה ממיליון ממסה של כוכב קדום גדול וקשה להסביר את יכולת איסוף החומר המהירה של החור השחור לאחר היווצרותו.

אפשרות נוספת, סבירה יותר, היא קריסת כמויות גדולות של גז במרכזי הגלקסיות הראשוניות. אולם, מודל כזה לא מסביר מדוע ענני הגז קרסו לחור שחור מבלי שנוצרו כוכבים קודם לכן. הרי גם כוכב עשוי מענן גז שנדחס בהשפעת כוח הכבידה של עצמו.

קבוצת החוקרים בחרה לבדוק השערה אחרת. באמצעות מחשבי-על הם הריצו תסריט של התנגשות שתי פרוטו-גלקסיות (קדם-גלקסיות) - ענני גז ענקיים שמהם התפתחו הגלקסיות. הסימולציה הראתה שהתנגשות כזו יכולה להביא ליצירה של חור שחור ענקי, משום שהיא מאפשרת ריכוז כמות גדולה מאוד של גז בנפח קטן שקורסת במהירות לחור שחור. במילים אחרות, אירוע אלים של התנגשות גלקסיות עשוי להביא לדחיסה מספקת של גז לשם יצירת חור שחור, מבלי שייווצרו לפני כן כוכבים חדשים.

מחקר מעניין, אבל ברור שהוא עדיין לא מהווה סוף פסוק. ראשית, צריך לבדוק אם קצב התנגשויות קדם-הגלקסיות היה מספיק גדול על מנת להסביר את היווצרותו של חור שחור בכל גלקסיה. ושנית, כלי המחקר שנעשה בו שימוש אינו מספיק על מנת לתת תשובה סופית. סימולציה היא כלי חזק וחשוב בפיזיקה בכלל ובאסטרופיזיקה בפרט, והיא מאפשרת בדיקה של תהליכים מורכבים. אולם, ללא תצפית ניסויית ישירה, שאלת היווצרותם של חורים שחורים סופר-מסיביים נותרת עדיין פתוחה.

יום ראשון, 22 באוגוסט 2010

סיפורו של ג'ורג' דנציג

זוכרים את הסרט "סיפורו של וויל האנטינג" (Good Will Hunting)? באחת הסצינות בתחילת הסרט משאיר המרצה בעיה על הלוח מחוץ לכיתה ומגלה שאלמוני הצליח לפתור אותה. המרצה משאיר בעיה קשה עוד יותר על אותו לוח, ולאחר השיעור הוא תופס על חם את וויל האנטינג, איש הניקיון, פותר את הבעיה השנייה. במציאות מוכר מקרה דומה - מדהים עוד יותר - שאולי שימש כהשראה לסצינה הנהדרת הזו. זהו סיפורו של ג'ורג' דנציג. אבל לפני כן, בכמה מילים על הבעיות שאותן פתר וויל האנטינג בסרט.

שתי הבעיות שייכות לתחום הקרוי תורת הגרפים, ולמען האמת הן לא מסובכות. גדי אלכסנדרוביץ' הציג בבלוג שלו את פתרון הבעיה הראשונה, ואני אתייחס בקיצור לבעיה השנייה. תורת הגרפים עוסקת באובייקטים המורכבים מקודקודים ומצלעות. הקודקודים מיוצגים על ידי נקודות והצלעות מחברות בין קודקודים. עץ הוא סוג של גרף המתאפיין בכך שיש בו קישוריות בין כל הקודקודים ואין בו מעגלים. המרצה מבקש בבעיה זו למצוא את כל העצים שיש להם 10 קודקודים ושאין בהם קודקודים המתחברים לשתי צלעות בלבד. הפתרון מוצג בסרטון הבא:



ג'ורג' דנציג (George Dantzig) נולד ב-1914 בפורטלנד למשפחה ענייה. הוריו קראו לו ג'ורג' ברנרד בתקווה שיהיה סופר מפורסם כמו ג'ורג' ברנרד שו, ואילו אחיו הצעיר זכה לשם הנרי פואנקרה בתקווה שיהיה מתמטיקאי דגול. בסופו של דבר הלכו האחים בעקבות אביהם, טוביאס דנציג, ושניהם הפכו למתמטיקאים. ג'ורג' אהב מתמטיקה ומדעים כבר בתיכון אבל לא כל כך הצליח בלימודים. הוא החליט לשפר את הישגיו ופתר בתקופה זו אלפי בעיות בהנדסה שנתן לו אביו. לאחר סיום התיכון נרשם ג'ורג' ללימודי מתמטיקה ופיזיקה באוניברסיטת מרילנד וסיים את לימודי התואר הראשון בגיל 22. כעבור שנה קיבל תואר שני במתמטיקה מאוניברסיטת מישיגן. אחרי סיום הלימודים פנה דנציג לעבוד כסטטיסטיקאי בלשכת הסטטיסטיקה של מחלקת העבודה של ארצות הברית.

ג'ורג' דנציג בצעירותו

באחד הימים התבקש דנציג לסקור מאמר של יז'י ניימן. דנציג התלהב מהמאמר ומהגישה הלוגית של ניימן למדע הסטטיסטיקה ופנה אליו בבקשה לעשות אצלו דוקטורט. ניימן הסכים ודנציג הגיע לאוניברסיטת ברקלי בשנת 1939. ג'ורג' לקח שני קורסים שאותם העביר המנחה שלו ובאחד מהם קרה לו אותו מקרה מדהים. הוא הגיע מאוחר לאחד השיעורים, ראה על הלוח שתי בעיות מהתחום של בדיקת היפותזות, והעתיק אותן למחברתו כשהוא סבור שאלו הם שיעורי הבית. הבעיות היו קשות מהרגיל, אך ג'ורג' עמד במשימה ופתר אותן תוך כמה ימים. הוא הגיע למשרדו של ניימן, התנצל על האיחור בהכנת שיעורי הבית ושאל אם עדיין יש טעם להגיש את הפתרונות. ניימן אמר לו להשאיר אותם על השולחן, וג'ורג', מתבונן בשולחן העמוס והמבולגן, עשה זאת בידיעה שקיים סיכוי נמוך מאוד שהוא יראה את הדפים שלו שוב.

שישה שבועות מאוחר יותר, יום ראשון, שמונה בבוקר. ג'ורג' ואשתו מתעוררים לשמע דפיקות בדלת. המנחה שלו מתפרץ פנימה בהתרגשות: "כרגע כתבתי את המבוא לאחד המאמרים שלך. קרא אותו כדי שאוכל לשלוח את המאמר מיד לפרסום". לג'ורג' אין מושג על מה מדובר. רק אז התברר לו שהמנחה שלו רשם על הלוח באותו שיעור שני משפטים בסטטיסטיקה שטרם הוכחו, ושהוא היה הראשון שמצא את ההוכחות.

התזה של ג'ורג' דנציג התבססה על שני הפתרונות והוא יכול היה להגיש אותה כבר ב-1941, אלא שאז נכנסה ארצות הברית למלחמת העולם השנייה ודנציג החליט לסייע למאמץ המלחמתי. הוא שימש במהלך המלחמה כסטטיסטיקאי עבור חיל האוויר. כעבור חמש שנים חזר דנציג לברקלי והגיש את עבודת הדוקטורט. לאחר מכן פנה לעבוד עבור משרד ההגנה ושם פיתח ב-1947 את שיטת הסימפלקס לפתרון בעיות אופטימיזציה, שיטה שהקנתה לו את פרסומו. בשיטה זו ניתן לפתור בעיות של תכנות לינארי - מציאת מקסימום לביטוי לינארי מוגדר תחת אילוצים לינאריים. ביטוי לינארי מכיל רק קבועים ומשתנים בחזקה ראשונה, למשל 5x+4y, והאילוצים יכולים להופיע בבעיה כשוויונות או כאי-שוויונות. האלגוריתם של דנציג הוא אחד החשובים במדעי המחשב והוא משמש באופן נרחב ביותר עד ימינו אלו. רבים סבורים כי ועדת פרס נובל טעתה כשלא הכלילה אותו עם מקבלי הפרס בכלכלה בשנת 1975 שניתן לחלוצי התכנות הלינארי. אגב, הייחוד בשיטה של דנציג לפתרון הבעיה הוא הגישה ההנדסית - ייתכן שאלפי הבעיות שהוא פתר בילדותו עזרו לו לחשוב בכיוון זה. דנציג בילה שנים רבות באקדמיה: ב-1960 הוא קיבל משרת פרופסור בברקלי וכעבור שש שנים עבר לאוניברסיטת סטנפורד שבה נשאר עשרות שנים. הוא נפטר בשיבה טובה בשנת 2005.

הכומר רוברט שולר (Robert Schuller) הכליל את סיפור פתרון הבעיות "הבלתי-פתירות" על ידי דנציג באחד מספריו, והוא כנראה המקור לתפוצה הרחבה שזכה לה המקרה. על אף שדיבר עם דנציג, שינה שולר את הפרטים על מנת להכניס נופך דרמטי לסיפור. על פי שולר, רשם המרצה לפני מבחן בעיות שאפילו איינשטיין לא הצליח לפתור. הסטודנט המאחר חשב שהן חלק מהמבחן ופתר אותן. שולר רצה להדגים את הכוח של חשיבה חיובית - הסטודנט הצליח כי לא ידע שהן בעיות לא-פתורות והאמין בכוחו להתמודד עמן. אני לא יודע עד כמה המסקנה הזו נכונה באופן כללי. רבים מאתנו נמשכים דווקא לאתגר של בעיות קשות או אפילו בעיות פתוחות, ויש כאלו המשקיעים בהן שנים על גבי שנים. ויחד עם זאת סיפורו של דנציג אכן מעורר השראה.

לקריאה נוספת:
האם דמותו של וויל האנטינג מבוססת על חייו של ויליאם סיידיס? - ויליאם סיידיס (William Sidis) הוא גאון אמריקאי שחי במחצית הראשונה של המאה העשרים.
מאמר אודות ג'ורג' דנציג (pdf)