המסה על פי איינשטיין

מסה היא מושג בעל מספר משמעויות בפיזיקה, ושתיים מהן הצגתי בפוסט אודות אייזק ניוטון והגדרת מושג המסה. במכניקה המבוססת על שלושת חוקי ניוטון וחוק הכבידה האוניברסלי יש למסה שתי הגדרות: התנגדות לשינוי מהירות ויצירת כוח משיכה. אלברט איינשטיין היה זה שהרחיב את מושג המסה באופן מהותי והוא עשה זאת על ידי הצגת נוסחה שהפכה עם הזמן לנוסחה המפורסמת ביותר בפיזיקה.

נוסחה זו שעומדת בבסיס תורת היחסות הפרטית מקשרת בין שלושה גדלים. האות E מסמלת את האנרגיה, האות m מסמלת את המסה והאות c מסמלת את מהירות האור בריק שערכה עומד על 299,792,458 מטר לשנייה.

הנוסחה אומרת בפשטות שאם אנו לוקחים את המסה ומכפילים אותה במספר קבוע גדול מאוד אנו מקבלים את האנרגיה, אך המשמעות העמוקה היא שקיימת זהות בין מסה לאנרגיה. מהירות האור בריבוע היא מספר גדול מאוד, לכן שינוי קטן במסה מתבטא כשינוי עצום באנרגיה, אבל זה עדיין לא אומר אם וכיצד ניתן להמיר מסה לאנרגיה שימושית דוגמת אנרגיית אור או חום. איינשטיין ייחד מאמר שלם לנוסחה זו המהווה את אחד מארבעת המאמרים המשפיעים כל כך שנכתבו בשנת 1905 - שנת הפלאות של אלברט איינשטיין. אגב, איינשטיין לא היה הראשון שקישר בין ביטוי של מסה לביטוי של אנרגיה בדרך זו, אך הוא היה הראשון שיצר זהות אוניברסלית בין מסה לאנרגיה במסגרת תורה פיזיקלית שלמה, הרי היא תורת היחסות הפרטית.

במבט ראשוני, המשמעות הנוספת למסה נראית מכבידה ונשאלת השאלה איך זה מסתדר עם ההגדרות הקודמות של המסה? אני אישית לא רואה בכך בעיה משום שאני סבור שהפיזיקה משופעת במושגים בעלי ריבוי משמעויות, והרחבתי על כך בפוסט "על מתמטיקה, פיזיקה ופוליסמנטיות". בעיני עלולה להתעורר בעיה רק אם יש סתירה בין המושגים, מצב שיכול להוביל לפרדוקסים פיזיקליים. במקרה הנוכחי לא נוצרת סתירה משום שהנוסחה של איינשטיין לא רק מגדירה זהות בין מסה לאנרגיה וכך מרחיבה את מושג המסה, אלא בו בזמן מרחיבה את מושג האנרגיה באופן שלא יסתור את הפיזיקה שקדמה לתורת היחסות. למעשה, כשמנתחים תנועה במהירות נמוכה באופן ניכר ממהירות האור ועורכים את חישובי האנרגיה המתאימים תורת היחסות והמכניקה שקדמה לה יספקו ניבויים זהים.

זה המקום להעיר שהנוסחה של איינשטיין מרחיקה עוד יותר את ההגדרה של מסה מ"כמות החומר" ומקרבת אותה לעבר הגדרה שעוסקת ב"כמות האנרגיה", ולפי נקודת מבט זו מסה אינה קשורה רק לחומר שממנו עשוי העצם, אלא גם למאפיינים נוספים שלו. אבל האם ייתכן שמסה אכן גדלה כשהמהירות עולה? ובכן, התשובה לא כל כך פשוטה משום שאת הנוסחה של איינשטיין ניתן לפרש בשתי צורות. המשותף לשני הפירושים הוא שמסת גוף שנמצא במנוחה, כלומר איננו נע, מגדירה אנרגיית מנוחה של הגוף. ההבדל בין הפרשנויות מתבטא בהשפעת המהירות על המסה.

- פרשנות 1 לנוסחת איינשטיין: האות m מסמלת אך ורק את מסת המנוחה של הגוף והיא מהווה גודל קבוע שאינו תלוי במהירות התנועה של הגוף, ובהתאם האות E בנוסחה מסמלת את אנרגיית המנוחה של הגוף. על מנת לחשב את האנרגיה הכללית יש לקחת בחשבון את אנרגיית המנוחה ואת האנרגיה הקינטית (אנרגיית התנועה) שמקורה במהירות. בעזרת נוסחה פשוטה ניתן לחשב את האנרגיה הכללית בתנאי שיודעים את אנרגיית המנוחה ואת המהירות. מהירות התנועה אינה יכולה לעבור את מהירות האור בריק, והאנרגיה שואפת לאינסוף כשהמהירות מתקרבת לגבול זה.

- פרשנות 2 לנוסחת איינשטיין: האות m מסמלת את המסה בכל מהירות שהיא והאות E מסמלת את האנרגיה המתאימה לה. לפי גישה זו המסה כבר אינה גודל קבוע, אלא ערכה עולה עם עליית המהירות ובהתאמה עולה גם ערכה של האנרגיה. המסה בפרשנות זו מכונה מסה יחסותית. נוסחה פשוטה מקשרת בין מסת המנוחה והמהירות למסה היחסותית, והכפלה של המסה היחסותית במהירות האור בריבוע נותנת ישירות את האנרגיה הכללית שכבר כוללת בתוכה את אנרגיית המנוחה ואת האנרגיה הקינטית. כשמהירות התנועה מתקרבת למהירות האור בריק המסה היחסותית וגם האנרגיה שואפות לאינסוף.

ההבדל בין הפרשנויות מוביל להבדל בהגדרת המסה. לפי הפרשנות הראשונה מסה אחראית ליצירת חלק מהאנרגיה של הגוף הקרוי אנרגיית מנוחה ולפי הפרשנות השנייה קיימת זהות מוחלטת בין מסה לאנרגיה. רוב הפיזיקאים מעדיפים את הפרשנות הראשונה, ואילו אני משתייך למיעוט שמעדיף, לפחות מבחינה רעיונית, את הפרשנות השנייה, ולו משום שבמסגרת תורת היחסות הפרטית התכונות הנוספות שאותן יוצרת המסה - התמדה ויצירת כוח משיכה - אכן משתנות כשהעצם נע במהירות גבוהה. אגב, לפי הפרשנות השנייה גם חלקיקים חסרי מסת מנוחה הנעים במהירות האור, דוגמת חלקיקי האור הקרויים פוטונים, הם בעלי מסה וזאת מעצם העובדה שיש להם אנרגיה.

היתרון של הפרשנות הראשונה הוא שהיא קלה יותר להבנה משום שהיא מגדירה מסה אחת בלבד ולא שתיים (מסת מנוחה ומסה יחסותית), ובנוסף היא גם נוחה יותר לחישובים. הפרשנות השנייה, לעומת זאת, נראית לי נכונה יותר מבחינה קונספטואלית משום שהיא מאפשרת התאמה בין ההגדרה האיינשטיינית החדשה של המסה ובין ההגדרות הניוטוניות הישנות. קיימת כמובן התאמה בין שתי הפרשנויות ובפועל התחזיות לגבי גדלים נמדדים זהים בשתיהן. ראוי להעיר שהמסה עצמה לא יכולה להימדד ישירות, אפילו בגישה הניוטונית, והערכת גודלה מחייב מדידות אחרות דוגמת מדידת כוח המשיכה הכבידתי.

מהירות איננה הגורם היחיד המשפיע על המסה וקיימים גורמים נוספים שיכולים להגדיל אותה או להקטין אותה. כך למשל עליית טמפרטורה, שכידוע מעלה את האנרגיה של הגוף, מעלה במידה קטנה מאוד גם את המסה שלו. בכיוון ההפוך, אנרגיית קשר שקיימת בין הנוקלאונים המרכיבים את גרעין האטום מקטינה את האנרגיה ובהתאם לנוסחה של איינשטיין מקטינה גם את המסה. ככל שפער מסות זה, יחסית למספר הנוקלאונים, גדול יותר כך הגרעין יציב יותר ונוטה פחות להתפרק. מצד שני אנרגיית קשר נמוכה מאפיינת גרעינים של איזוטופים רדיואקטיביים שמתפרקים בתהליכים גרעיניים.

מקורה של האנרגיה המשתחררת בכור גרעיני או בפצצה גרעינית הוא בהפרש בין אנרגיית הקשר של הגרעין המתפרק בתהליך ביקוע גרעיני לאנרגיות הקשר של התוצרים שלו. זה גם מקורה של האנרגיה הנוצרת בתהליכי היתוך גרעיני של גרעינים קלים לכבדים, אלא שלצורך היתוך יש צורך להפגיש את הגרעינים הקלים ולהתגבר על הדחייה החשמלית ביניהם, הרי כל הגרעינים טעונים במטען חיובי. בשל כך תהליכי היתוך גרעיני ייתכנו רק בטמפרטורות גבוהות מאוד שבהן הגרעינים נעים מהר ויכולים להתקרב זה לזה. חשוב לי להדגיש שנוסחת איינשטיין אכן מצביעה על אפשרות של הפקת אנרגיה באמצעות שינויי מסה, אך בניגוד לדעה הרווחת בציבור לאלברט איינשטיין עצמו אין שום קשר ישיר לפיתוח אנרגיה גרעינית ופצצות גרעיניות.

תוצאה דרמטית עוד יותר מתרחשת בתהליכי איון (אניהילציה) שבהם חלקיקים מתנגשים ונעלמים לחלוטין. אם ההתנגשות מתרחשת בריק חוק שימור האנרגיה מחייב יצירת חלקיקים חדשים. תהליך כזה בדיוק קורה במאיצי חלקיקים ללא הרף. כך למשל במאיץ של אלקטרונים ופוזיטרונים (אנטי-חומר של אלקטרונים) התנגשות של אלקטרון ופוזיטרון יכולה לגרום לאיונם וליצירת שני פוטונים. בתהליך זה מסת המנוחה של האלקטרון והפוזיטרון, השקולה לאנרגיית המנוחה שלהם, הומרה לאנרגיית תנועה של הפוטונים.

אם אנרגיית התנועה של החלקיקים המתנגשים גבוהה אז יכולה להתרחש יצירה של חלקיקים מסיביים. בתהליך זה אנרגיית התנועה של החלקיקים המתנגשים מומרת לאנרגיית מנוחה של חלקיקים חדשים. זו הדרך שבה ייצרו את בוזון ההיגס במאיץ ה-LHC, המבוסס על התנגשויות של פרוטונים במהירויות גבוהות מאוד. לצערנו, ויש הטוענים למזלנו, מכמה סיבות לא הצליחה עדיין האנושות לנצל באופן מקרוסקופי אנרגיה שמקורה בתהליכי איון, ולו משום שחלקיקי אנטי-חומר נדירים מאוד ביקום.

קרדיטים לאיורים:
איור ראשון - שחר מלמד-כץ ולוטם מלמד-כץ
איור שני - ראם מלמד-כץ

אייזק ניוטון והגדרת מושג המסה

בפוסט הקודם הסברתי למה אני חושב שהגדרת המסה בתור כמות החומר אינה טובה. אז איך בכל זאת ניתן להגדיר את המסה? בפוסט הזה אעסוק בשתי הגדרות בסיסיות של מסה ושתיהן קשורות לעבודתו של אייזק ניוטון.

1) התמדה: מסה גורמת להתנגדות לשינוי מהירות.
תכונה זו של מסה מנוסחת היטב בחוק התנועה השני של ניוטון שלפיו כוח שווה למסה כפול תאוצה (שינוי מהירות).
אם נסמן כוח באות F, מסה באות m ותאוצה באות a, אז החוק השני ינוסח בצורה הבאה:
 

 F=ma

נוסחה זו אפשר לרשום גם בדרך הבאה: a=F/m. המשמעות היא שאם הכוח לא משתנה הגדלת המסה מקטינה את התאוצה והקטנת המסה מגדילה את התאוצה. תכונה זו של המסה ניכרת כמעט בכל ניסוי מכני. אם למשל נבדוק את התאוצה ואת התאוטה של כלי רכב נגלה שהמסה היא גורם משמעותי. משאית מאטה לאט לפני רמזור אדום ומאיצה לאט אחרי שהצבע מתחלף לירוק משום שמסתה גבוהה. לעומת זאת, בתכנון של מכוניות מרוץ מנסים להקטין ככל האפשר את המסה על מנת לאפשר תאוצה ותאוטה גבוהות במיוחד. למעשה בתחרויות מוגדרת מסה מינימלית של הרכב עם הנהג וזאת על מנת להקטין סכנות לנהגים.

2) כבידה: מסה יוצרת כוח משיכה.
כוח המשיכה שנוצר בין שני גופים שווה למכפלת המסות שלהם במספר קבוע (קבוע הכבידה) חלקי המרחק בין הגופים. כוח זהה פועל על כל אחד משני הגופים, אך כיוון הכוחות הפוך.
אם נסמן את הכוחות באותיות F1 ו-F2, מסות הגופים באותיות m1 ו-m2, המרחק בין הגופים באות r וקבוע הכבידה באות G, אז חוק הכבידה האוניברסלי ינוסח בצורה הבאה:

כל שני עצמים נמשכים זה לזה אבל קשה למדוד את כוח המשיכה הכבידתי בין עצמים קטנים על פני כדור הארץ משום שכוחות אחרים, כולל כוח הכובד של כדור הארץ עצמו, חזקים הרבה יותר. למעשה כוח הכבידה חלש מאוד יחסית לכוחות אחרים, כמו הכוח החשמלי והמגנטי, ולראיה מגנט קטן יכול להרים סיכת ברזל ובכך להתגבר על כוח המשיכה הכבידתי של כדור הארץ כולו. הסיבה לכך שהכבידה היא גורם משמעותי ביקום הגדול נובעת מכך שטווח ההשפעה שלה אינסופי ומכך שגרמי השמים אינם טעונים במטען חשמלי באופן משמעותי ואינם מייצרים כוח אלקטרומגנטי חזק.


חוק הכבידה האוניברסלי נמדד לראשונה בשנת 1797, אחרי מותו של ניוטון (ניוטון חי בשנים 1727-1642). בניסוי זה, הקרוי ניסוי קוונדיש, נמדד כוח המשיכה בין כדורי עופרת. מאז, תכונת ההתמד של המסה ותכונת הכבידה שלה נבדקו בניסויים רבים, אך מבחינה תאורטית הן שונות מאוד זו מזו ואינן נובעות בשום דרך האחת מהשנייה. על כן ניתן להניח שהן מגדירות גדלים שונים: מסת התמד ומסה כבידתית. אולם, מקובל להניח ששתי צורות המסה האלו שוות בגודלן.

המשקל הוא כוח המשיכה שנוצר בהשפעת הכבידה. משקלו של גוף תלוי במסתו, במסת הגוף שמושך אותו ובמרחק בינו ובין מרכז הגוף המושך. הירח פחות מסיבי מכדור הארץ וחישוב פשוט מראה שמשקל של עצם על פני הירח קטן בערך פי 6 יחסית למשקלו על פני כדור הארץ. מבחינתנו חשוב כרגע להבין שמשקלו של גוף על פני כדור הארץ יחסי למסתו.

אם המסה היא m המשקל הוא F=mg כאשר g הוא מספר קבוע התלוי במסת כדור הארץ, ברדיוס כדור הארץ ובקבוע הכבידה. אם נציב כוח זה בחוק השני של ניוטון נקבל ma=mg. בצד ימין של המשוואה מופיעה המסה הכבידתית ובצד שמאל מסת ההתמד. אם המסות שוות המסקנה הבלתי נמנעת היא שכל המסות על פני כדור הארץ נופלות בתאוצה זהה - זוהי תאוצת הכובד וערכה עומד בערך על 9.8 מטר לשנייה בריבוע.
  
מסופר על גלילאו גליליי שעלה למגדל פיזה הנטוי והשליך משם עצמים בעלי מסות שונות וכולן הגיעו לקרקע בו זמנית. הסיפור איננו נכון ולו משום העובדה שהתנגדות האוויר גורמת לכך שגם אם צורת העצמים זהה הרי שהעצם המסיבי יותר יפגע בקרקע ראשון. כיום ניתן לערוך ניסוי כזה במתקן ריק מאוויר על פני כדור הארץ, למשל במגדל פולטורם בברמן שבגרמניה המיועד למטרה זו, וניתן כמובן לערוך ניסוי כזה על הירח. בהיעדר אוויר כל העצמים שמופלים מגובה זהה פוגעים בקרקע בו זמנית, ולא חשוב מה המסה שלהם.

ניסוי הפלת נוצה ופטיש במסגרת משימת אפולו 15 על פני הירח

ההנחה שמסת ההתמד ומסת הכבידה שוות נקראת עקרון השקילות - העיקרון נבדק בניסויים רבים ועד עתה נמצא תמיד נכון. אלברט איינשטיין השתמש בעקרון השקילות כבסיס שממנו הוא בנה את תורת היחסות הכללית. הוא סיפר לימים שהמחשבה השמחה בחייו הייתה ההבנה שאדם הנופל מהגג לא מרגיש את כוח הכובד בעת הנפילה. תחושת ריחוף זו, שמהווה תוצא של עקרון השקילות, מתרחשת גם בתחנת החלל ואפילו בצניחה חופשית, לפחות בשניות הראשונות לפני שהמהירות מגיעה לערכה המקסימלי בגלל התנגדות האוויר.


ההיסטוריה של מושג המסה מעניינת במיוחד ומפתיע שאייזק ניוטון עצמו הגדיר את המסה בצורה שונה. את ההבנות שלו בנושא מכניקה הוא פירט בספרו פרינקיפיה או בשמו המלא: העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע. ניוטון בחר להגדיר את המסה בתור כמות או מידה של חומר השווה למכפלת צפיפות החומר בנפחו. הגדרה זו לוקה בשני חסרונות: המושג "כמות החומר" לכשעצמו הוא רב-משמעי ואינו נושא מידע שיכול להסביר מה זו מסה ובנוסף לכך מסה היא מושג בסיסי יותר מצפיפות ולא נכון להגדיר מסה דרך צפיפות, אלא להיפך. כיום אכן מקובל להגדיר צפיפות כחלוקת מסה בנפח. במרוצת הדורות הגדרת המסה בספרו של ניוטון זכתה לביקורת.

בכל הקשור לתכונת ההתמד של המסה זכות הראשונים ניתנת ליוהאנס קפלר שהתייחס כבר ב-1621 למכפלת הצפיפות בנפח (מסה) כהתנגדות לתנועה. אייזק ניוטון ניסח את החוק השני של התנועה בצורה שונה מזו המקובלת היום ובספרו הוא לא התייחס כלל למסה בהקשר לחוק השני. ניוטון כתב שהשינוי בתנועה יחסי לכוח המופעל מבלי לפרט מהו אותו שינוי בתנועה. בספרו ניוטון מגדיר את כמות התנועה, גודל שנקרא כיום תנע, בתור מכפלת המסה במהירות. אם הוא היה מנסח את החוק השני באמצעות הביטוי "שינוי בכמות התנועה (שינוי בתנע) שווה לכוח" הוא היה מדייק לחלוטין, משום שזה הניסוח הכללי והמקובל כיום של החוק השני, אך הוא בחר לרשום רק שינוי בתנועה, ועם השנים ניסוח זה נזנח. למעשה כבר בימי חייו נכתב החוק השני בספר אחר בצורת F=ma, כלומר באופן שמגדיר בצורה טובה את תכונת ההתמד של המסה.

אייזק ניוטון והתפוח (מקור: ויקימדיה)

ניוטון הקדיש חלקים נרחבים מספרו לניסוח חוק הכבידה האוניברסלי ולמסקנות הנובעות ממנו, כמו למשל תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש. בחלקים אלו של הספר הוא התייחס כמובן להשפעה הכבידתית של המסה כיוצרת כוח משיכה כבידתי. זו ללא ספק תרומתו הגדולה של הספר והחוק משמש במרבית חישובי הכבידה עד ימינו. אגב, הסיפור על התפוח של ניוטון נכון ברובו - תפוח שנפל לידו (ולא על ראשו!) גרם לו לתהות על כוח הכובד על פני כדור הארץ ועל ההשפעה של אותו כוח כובד על גרמי השמים. הסיפור המלא נרשם על ידי חברו של ניוטון, ויליאם סטוקלי:

אחרי הסעודה מזג האוויר נהיה חמים. הלכנו לגינה ושתינו תה מתחת לצל של כמה עצי תפוח, רק הוא ואני. בין דברים אחרים שעלו בשיחה הוא אמר לי שהוא היה בדיוק במצב כזה, מזמן, כשרעיון הכבידה עלה בראשו. "למה התפוח נופל תמיד בניצב לקרקע", הוא חשב לעצמו כשנכנס למצב מהורהר בעקבות נפילת תפוח. "למה שהוא לא ילך הצידה או למעלה? למה תמיד לכיוון מרכז כדור הארץ? הסיבה, ללא ספק, היא שכדור הארץ מושך אותו. חייב להיות כוח משיכה בחומר וסכום כוחות המשיכה בחומר שממנו עשוי כדור הארץ חייב להימצא במרכז כדור הארץ, לא בשום צד של כדור הארץ. לכן התפוח נופל בניצב לקרקע או לעבר מרכז כדור הארץ. אם חומר מושך כך חומר אז משיכת חומר חייבת להיות יחסית לכמות שלו. אם כך, התפוח מושך את כדור הארץ כמו שכדור הארץ מושך את התפוח". לכוח כזה אנו קוראים כוח הכובד והוא נפרש הרחק על פני היקום כולו. בעקבות אותה מחשבה הוא הרחיב בהדרגה את תורת הכבידה לצורך הבנת תנועת כדור הארץ וגרמי השמיים...

על אודות הגדרה נוספת של מסה שהופיעה רק עם פיתוח תורת היחסות אכתוב בפוסט הבא.

האם מסה היא כמות החומר?

במקומות רבים אני מוצא שהמסה מוגדרת בתור כמות החומר. אני משער שהגדרה זו באה להבחין בין מסה למשקל ולהראות שמסה היא תכונה שלא תלויה במקום שבו נערכת המדידה, כלומר היא תישאר זהה על פני כדור הארץ, על פני הירח ובחלל. אבל מה זה בעצם אומר "כמות החומר"?

הגדרה מדעית טובה צריכה לספק מידע על המושג שיאפשר לנו להבין אותו ולהשתמש בו בצורה נכונה. אני מצפה שההגדרה של מסה תאמר לנו אילו תכונות של עצמים יכולים לנבוע ממושג המסה ואולי אפילו תרמז על שיטות שבהן נוכל להשתמש על מנת למדוד אותה. אני מוצא כמה בעיות עם הגדרת המסה ככמות החומר.

הבעיה המרכזית בעיני היא שלמילה "כמות" יש כמה משמעויות, ועל כן השימוש במילה זו בהגדרה איננו חד משמעי. ראשית, "כמות" מתארת ערך של גדלים פיזיקליים בעזרת יחידות מדידה, למשל: כמות האנרגיה שצרכנו החודש היא 500 קוט"ש, כמות הזרם במעגל החשמלי היא 2 אמפר. שנית, משתמשים במילה "כמות" לציין תכונות בסיסיות של עצמים כמו נפח ומשקל. אנו יכולים לומר כמות החלב בכד היא 2 ליטר וכמות העגבניות שקנינו היא 3 קילוגרם-כוח. באותו הקשר, רווח גם השימוש במילה "כמות" לציון מסה, אבל זה לא עוזר לנו כי אם אנו כבר מגדירים כמות בתור מסה הרי שאם נגדיר מסה בתור כמות נקבל הגדרה מעגלית.

הערה: אמנם בחיי היומיום משתמשים בק"ג כיחידת משקל אך בשפה מדעית יש לייחד את הקילוגרם למסה ולהשתמש ביחידת הניוטון או ביחידת ק"ג-כוח למשקל. אני מוצא שהשימוש ביחידה ק"ג-כוח הוא נוח במיוחד משום שזה המשקל שפועל על מסה של ק"ג אחד על פני כדור הארץ.

כיוון שלישי הוא לייחס את המילה "כמות" למספר יחידות בתוך שלם, למשל כמות הדפים בערימה, ובפרט אנו מזהים מילה זו עם מספר החלקיקים המרכיבים גוף מסוים. כאן המקום להוסיף שלכמות חומר המתייחסת למספר החלקיקים כבר יש שם מדעי: מול. מול אחד של חומר כלשהו מתאים למספר מוגדר של חלקיקי החומר. מספר זה קרוי קבוע אבוגדרו ומדובר במספר עצום של חלקיקים: בערך 6 ואחריו 23 אפסים שזה יותר ממיליארד כפול מיליארד כפול מאה אלף.

אבל לצורך הדיון בואו נניח שגם המסה מתייחסת למספר החלקיקים. הגדרה זו אינה שלמה כי עדיין חסרה הגדרה בסיסית למושג המסה שתאפשר לנו להבין מה המשמעות שחלקיק יסודי אחד מסיבי יותר ממשנהו. במילים אחרות, מספר החלקיקים לא נותן לנו את המסה מבלי שנדע את המסה של החלקיקים היסודיים שמהם מורכב החומר: אלקטרון, פרוטון ונייטרון.

יתרה מכך, מסה של אטום בודד איננה סכום המסות של הפרוטונים, הנייטרונים והאלקטרונים המרכיבים אותו אלא קטנה מסכום זה. הפרש המסות הוא המקור לגודל שנקרא אנרגיית הקשר. ככל שאנרגייה זו גדולה יותר באופן יחסי כך האטום יציב יותר והוא יוכל להוות תוצר של תהליכים גרעיניים שעוברים אטומים פחות יציבים. אנרגיית הקשר היא בעצם האנרגיה המשתחררת בכור גרעיני או בפצצה גרעינית.

בנוסף לכל זאת יש לי גם בעיה עם המילה חומר בהגדרה "כמות החומר". בהתאם לתורת היחסות מסה שקולה לאנרגיה (עוד על כך בפוסטים הבאים). גם חלקיקי קרינה, כמו למשל חלקיקי האור הקרויים פוטונים, נושאים עמם אנרגיה ולכן מסה יכולה להתייחס לכל סוגי החלקיקים ולא רק לחלקיקי חומר. עקב כך, השימוש בהגדרה המתייחסת לכמות החומר בלבד, מבלי להתייחס לקרינה, איננו מלא.

אז איך בכל זאת ניתן להגדיר מסה? על כך בפוסט הבא...

התגליות הגדולות מכולן

הגיליון ה-100 של גליליאו (דצמבר 2006) הוקדש לבחירת התגליות הגדולות בתחומי המדע השונים. הוצע לי לכתוב את המאמר העוסק בתגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה. הבחירה הייתה קשה. תחילה רשמתי לי 22 תגליות, ואז התחלתי לצמצם, עד שנשארו עשר בלבד.
הנה הפתיחה ואחריה שתי התגליות הראשונות. אגב, לא סידרתי לפי סדר חשיבות, אלא משיקולי רצף קריאה.

התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה

סקרנות היא הדלק שמניע את גלגלי הפיזיקה, והפיזיקה לא מסתפקת בשאלות טריוויאליות, אלא מנסה להסביר תהיות מהותיות: מה הן אבני היסוד של החומר? איך בנוי היקום? איך הכול התחיל? ואיך זה יסתיים? ניסיון צנוע להשיב לשאלות אלו ניתן בחמש התגליות שחותמות רשימה זו. המדען, מצדו, מעלה שאלות נוספות ומנסה להבין את התהליכים עצמם, לפתח תאוריות ולא פחות חשוב - לבדוק אותן בניסוי. חמש התגליות הראשונות עוסקות בשאלות כאלו, ויחד הן משלימות תמונה מורכבת של הפיזיקה ושל האסטרונומיה, שבה ניסוי ותאוריה שזורים זה בזה. עשר התגליות המובאות להלן הן בעיני נקודות חשובות בזמן ובהבנה, וכל אחת מהן פותחת צוהר לעולם מופלא ומגוון של ידע, תעוזה ויותר מכל - סקרנות.

1. חוקי ניוטון

את המסע שלנו לעבר התגליות הגדולות של הפיזיקה נתחיל עם גלילאו גליליי (1564-1642), מגדולי המדענים בכל הזמנים. אמנם גלילאו לא היה הראשון שמתח ביקורת על התפישה של אריסטו, ולפיה גוף יכול לנוע רק בתנאי שפועל עליו כוח, ועם זאת הוא היה הראשון שהצליח להבין לעומק את מושג ההתמדה (אינרציה) ולנסח אותו בצורה המוכרת כיום בתור החוק הראשון של ניוטון: גוף יתמיד במהירותו ובכיוון תנועתו, אלא אם כן יפעל עליו כוח חיצוני.

החוק השני של ניוטון, החוק הבסיסי של המכניקה, מגדיר את מושג המסה. ניוטון טען שתכונה זו, הייחודית לכל גוף, קובעת את יכולתו להתנגד לשינוי מהירות בהשפעת כוח חיצוני. על-פי החוק השלישי, חוק הפעולה והתגובה, הפעלת כוח על גוף אחר תלווה תמיד בכוח הפוך בכיוונו ושווה בגודלו. חוקי ניוטון, שפורסמו בשנת 1687, מספקים לא רק הבנה אינטואיטיבית של גדלים פיזיקליים בסיסיים, אלא גם מהווים כלי דידקטי ממעלה ראשונה, ויתרה מכך, הם מאפשרים לראשונה לבצע חישובים מכניים מדויקים.

ראוי לחתום פרק זה במשפט של אייזק ניוטון, המהווה לדעתי את תמצית המדע: "אני רואה את עצמי כילד המשחק על חוף הים, ומשתעשע, פעם באבן חלקה יותר ופעם בצדף יפה יותר, בעוד האוקיינוס הענק של האמת משתרע מול עיניי וצופן את סודותיו". גלילאו וניוטון יככבו גם בתגלית השנייה, שתעסוק בתורת הכבידה, אלא שהפעם יצטרף אליהם לא אחר מאשר אלברט איינשטיין.

2. תורת היחסות הכללית

גלילאו היה הראשון שהבין את "עקרון השקילות", שלפיו מסה כבידתית, הגורמת למשיכה בין שני גופים, זהה למסה האינרציאלית, המוגדרת בחוק השני של ניוטון. הניסוי המפורסם שבו גליליאו מפיל שני גופים ממגדל פּיזה, האחד כבד מהשני, ושניהם מגיעים יחד לקרקע, היה כנראה ניסוי מחשבתי בלבד, משום שגליליאו הבין שהתנגדות האוויר תמנע ממנו לערוך את הניסוי כהלכה. בכל זאת, רעיון זה הוא הביטוי הראשון לעקרון השקילות, וחשיבותו בכך שסתר את הגישה האריסטוטלית, שלפיה גוף כבד נופל מהר יותר.

נדלג שלוש מאות שנה קדימה. בשנת 1907, בעודו יושב במשרד הפטנטים בברן, עלתה בראשו של איינשטיין מחשבה, שאותה הוא תיאר לימים בתור "המחשבה המאושרת בחיי". "אדם שנופל מגג של בניין, לא מרגיש את המשקל של עצמו", הסיק איינשטיין מעקרון השקילות, ובעזרת רעיון נוסף, הקרוי עקרון מאך, שלפיו כל גוף ביקום נמצא בנפילה חופשית יחסית לשאר הגופים, הצליח איינשטיין בתוך שמונה שנים לגבש את תורת היחסות הכללית. על רגל אחת, תורה זו אומרת, שהמרחב-זמן קובע כיצד המסה תנוע, ואילו המסה קובעת איך המרחב-זמן יתעקם, ואידך זיל גמוֹר...

הבדלים משמעותיים בין הכבידה של ניוטון ובין תורת היחסות הכללית באים לידי ביטוי רק עבור כבידה חזקה, כמו למשל בחורים שחורים, אותם גופים שאפילו אור לא יכול להשתחרר משדה הכבידה שלהם, וקיומם מוסבר רק על ידי תורתו של איינשטיין. אולם, כאשר דרוש דיוק גבוה אז גם בתנאי כבידה חלשה יש להתחשב ביחסות כללית, ולכן לוקחים אותה בחשבון בעת תכנון מסלולי חלליות ואפילו במערכת ה-GPS. מכאן נפנה לכוח בסיסי אחר, שבדומה לכבידה טווח פעולתו אינסופי - הכוח האלקטרומגנטי.

תמונה שצילמתי בפיזה ובה נראה מגדל הפעמונים הנטוי של העיר, שעל פי הסיפור גלילאו גליליי זרק מראשו גופים שונים על מנת להוכיח את עקרון השקילות

המשך המאמר: עשר התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה

נזכרתי היום במאמר כשחיפשתי מסמך שהכנתי כמה חודשים מאוחר יותר ובו רשימת התגליות הפיזיקליות העתידיות, שלפי הערכתי עשויות להתגלות במהלך המאה ה-21. על כך בפוסט הבא.

הכדורסל שהגיע רחוק

טכנוראש היא אחת מתחרויות המדע המקוריות, המאתגרות והמשעשעות שיש לנו בישראל. השנה נדרשו המתמודדים לבנות מתקן שיחובר למטוטלת גדולה. המטוטלת עשויה מחבל באורך של 10 מטרים, וקצה החבל מגיע לגובה של מטר וחצי מעל פני הקרקע כשהמטוטלת נמצאת במצב אנכי. כל מתמודד מחבר את המתקן שבנה אל החבל של המטוטלת באמצעות טבעת וחוט ומביא את המטוטלת לזווית של 30 מעלות יחסית לאנך. זוהי נקודת שיא הגובה של המטוטלת. המתמודד משחרר את המתקן המחובר למטוטלת מנקודת שיא הגובה, והחוט המחבר את המתקן אל המטוטלת משתחרר כשהמטוטלת מגיעה למצב אנכי, כלומר במצב של גובה מינימלי יחסית לקרקע ומהירות אופקית מקסימלית. המתקן ינוע זמן מה באוויר, ואחר כך הוא חייב לנוע לפחות מטר וחצי על פני הקרקע. המנצח הוא זה שהמתקן שלו מגיע למרחק המקסימלי מהמטוטלת.

הסרטון הבא מראה אנימציה של המטוטלת ששימשה את המתחרים:



אנסה לנתח את ביצועי המתקן הזוכה, אך לפני כן סרטון שמסכם את התחרות:



מתקן המבוסס על כדור או גלגלים הוא בחירה הגיונית, משום שחפץ עגול יכול לנוע על פני הקרקע למרחק גדול יחסית. הסיבה לכך היא שגלגל אידאלי לא מאבד אנרגיה כתוצאה מחיכוך, כל עוד הוא מתגלגל ואינו מחליק. אומנם, קיימת התנגדות לגלגול, הנובעת מכך שהגלגל עובר דפורמציה מסוימת בעת המגע עם הקרקע והוא כבר אינו עיגול מושלם, אך התנגדות זו קטנה בדרך כלל. לעתים גם הקרקע עוברת דפורמציה, למשל אם מדובר בקרקע לא קשיחה. גורם נוסף שיש לקחת בחשבון הוא שקרקע לא ישרה תגרום להתנגדות גבוהה יותר לגלגול. כפי שניתן לראות בסרטון, חלק גדול מהמתחרים אכן ניסו לבנות מתקן המבוסס על גלגלים או כדורים, כלומר הם הניחו שההתנגדות לגלגול קטנה מחיכוך רגיל.

לדעתי, בהתחשב בתנאי התחרות יש יתרון לכדור על פני גלגל ואפילו על פני זוג גלגלים. זאת משום שכדור ינחת בוודאות במצב שיאפשר לו להמשיך להתגלגל, ואילו מערכת המבוססת על גלגלים עלולה לנחות בזווית שתגרום לעצירה מיידית. המנצח, אלק ליסיאנסקי, אכן בחר בכדור, או ליתר דיוק בכדורסל. הרעיון שלו נהדר: הוא בנה מתקן שמקנה לכדורסל מהירות סיבובית בנוסף למהירות הקווית שהוא מקבל מהמטוטלת. הכדורסל של אלק הגיע למרחק של כמעט 42 מטרים מהמטוטלת - הישג מרשים שהקנה לו את המקום הראשון ביתרון של 5 מטרים על פני המקום השני.

המתקן של אלק מזכיר את משחק היו-יו שמקבל מהירות סיבובית כשמשחררים אותו מהיד. למתקן כזה שני יתרונות מרכזיים: הוא מאפשר גלגול במהירות אופטימלית כשהכדור מתייצב על הקרקע, והוא מקנה לכדור יציבות גירוסקופית. יציבות גירוסקופית היא הנטייה של עצם שמסתובב במהירות גדולה לשמור על ציר הסיבוב, ובמקרה שלנו להמשיך להתגלגל בקו ישר קדימה מבלי לסטות לכיוון הדשא.

אני חוזר ליתרון הראשון של המתקן הזוכה. אם רדיוס הכדור הוא r מטרים ומהירותו הסיבובית היא w (ביחידות של רדיאנים לשנייה), אזי מהירותו הקווית (ביחידות של מטרים לשנייה) היא: v=wr. אם המתקן בנוי בצורה אופטימלית, המהירות הסיבובית והמהירות הקווית של הכדורסל בעת הנחיתה על הקרקע יתאימו לנוסחה זו. אחרת, תתרחש בשלב הראשון החלקה, הגוררת איבוד אנרגיה, עד שהכדור יגיע למצב שבו הנוסחה מתקיימת. במילים אחרות, כדור שמסתובב מהר מדי יאבד אנרגיה בצורת האטת מהירות הסיבוב, ואילו כדור שמסתובב לאט מדי יאבד אנרגיה בצורת האטת המהירות הקווית.

נקודה מעניינת נוספת היא הבחירה בכדורסל. כדורסל הוא כדור אלסטי שקופץ לפני שהוא מתחיל להתגלגל. היות שההתנגשות אינה אלסטית לחלוטין, כל קפיצה גורמת להפסד אנרגיה. מצד שני, במקרה הנוכחי יש יתרון לקפיצה על פני גלגול, משום שהמשטח עשוי ממרצפות, והרי משטח לא אחיד גורם לאיבודי אנרגיה בעת גלגול. בסופו של דבר הכדור מפסיק לקפוץ ומתחיל להתגלגל. אני מתאר לעצמי שאם המשטח היה ישר לגמרי, ללא מהמורות, עדיף היה להשתמש בכדור פחות אלסטי שיתחיל להתגלגל עם המגע הראשוני שלו בקרקע.

נקודה אחרונה שחשבתי עליה אחרי שראיתי את המתקן המנצח: עדיף היה, לדעתי, להשתמש בכדור בעל מומנט אינרציה קטן יותר, כלומר כדור שהמסה שלו מרוכזת במרכז, ולא על פני ההיקף כמו בכדורסל. גוף בעל מומנט אינרציה נמוך יותר נע מהר יותר, משום שמרבית האנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית הופכת לאנרגיה קינטית קווית ולא לאנרגיה קינטית סיבובית. זו הסיבה לכך שגליל מלא נע מהר יותר במורד מגליל חלול (בקישור ניתן לראות את החישוב במקרה של גליל).

כעת, עוד משהו נחמד לסיום. הזכרתי את משחק היו-יו. המתקן הזוכה של אלק פועל בצורה דומה למה שקורה בתרגיל walk the dog - תרגיל בסיסי לחובבי היו-יו:

מומנט - על מקור המילה והשימוש בה בפיזיקה

בעקבות הרשימה הקודמת אודות הסביבון, וההערה של אריאל לרשימה ההיא, התחלתי לחשוב למה בעצם כל הנושא של תנועה סיבובית כל כך מבלבל, למרות שאנו פוגשים בו הרבה בחיי היום יום. אני חושב שאחת הבעיות היא בחירת שמות לא מוצלחים. המילה מומנט (או מומנט כוח) שמהווה מושג מרכזי בתנועה סיבובית הגיעה לעברית משפות אירופאיות (moment of force באנגלית). הצרה היא שמושג מרכזי אחר בתנועה סיבובית נקרא בשם דומה: מומנט התמד (moment of inertia). מומנט הוא המקבילה של כוח בתנועה סיבובית, ואילו מומנט התמד הוא המקבילה של מסה, כלומר מדובר במושגים שונים, והשמות הדומים מבלבלים.
 
מקור המילה מומנט ב-momentum הלטיני שמורכב מהמילה movere (לנוע) והסיומת mentum שמציינת שם עצם שמקורו בפועל. האות v נשמטה במהלך הזמן. מומנטום הלטיני מתייחס בעצם לתנועה, אבל לא רק לתנועה במרחב אלא גם לתנועת זמן. כך נקראה בלטינית יחידת זמן מוגדרת המהווה את החלק הארבעים של שעה, וגם יחידת זמן קצרה ולא מוגדרת - רגע בעברית (moment באנגלית). למומנטום היו כבר בלטינית משמעויות נוספות, כמו: חלק קטן, השפעה, חשיבות. אחת המשמעויות התייחסה למשקל קטן שמניחים על מאזניים (momentum staterae בלטינית). בימי הביניים החלו המשמעויות השונות של מומנטום להתגלגל לשפות האירופאיות, כנראה דרך צרפתית עתיקה, ותוך כדי כך המילה התקצרה והפכה למומנט. חלק מהמשמעויות מופיעות באנגלית כבר בתנ"ך של ג'ון ויקליף (John Wycliffe) מהמאה ה-14. אגב, שם מופיע מומנט גם במשמעות משקל של מאזניים: "and as moment of a balaunce ben holden" כתרגום לביטוי "וכשחק מאזניים נחשבו" (ישעיהו מ', 15) וזאת בעקבות תרגום הוולגטה (התרגום הקדום של התנ"ך ללטינית). התרגום הזה שגוי משום ששחק המקראי הוא אבק כתוצאה משחיקה, ולא משקל.

אני משער שהמקור למומנט הפיזיקלי המופיע כמושג מרכזי בתנועה סיבובית נובע ממומנט במשמעות משקל קטן על מאזניים. הרי מאזניים הם דוגמה טיפוסית לשימוש במושג המומנט. מצד שני זו לא הייתה המשמעות הראשית של מומנט, כך שייתכן שההתפתחות הייתה שונה. חיפשתי ועד עתה לא מצאתי סימוכין להשערה שלי. כך או אחרת, המילה מומנטום ואחר כך גם מומנט אומצו בפיזיקה במספר משמעויות החל מהמאה ה-17, ומהפיזיקה הגיעה המילה מומנט גם למתמטיקה.

האנגלים השכילו לקרוא למומנט כוח בשם נוסף - torque - שנמצא כיום בשימוש נפוץ יותר, וזה מקל מאוד בעת הפגישה הראשונית עם הנושא של תנועה סיבובית. חבל שבעברית, ובשפות נוספות, משתמשים במילה מומנט גם לציון מומנט כוח וגם כחלק מהצירוף מומנט התמד. דווקא התרגום של המושג הפיזיקלי מומנטום לעברית - תנע - מוצלח מאוד.

חזרה לפיזיקה: מומנט או מומנט כוח הוא מכפלת הכוח במרחק מנקודת הציר. בתנועה סיבובית המומנט הוא הגודל החשוב, משום שהפעלת כוח על נקודת הציר לא תיצור תנועה סיבובית, וככל שמתרחקים מנקודת הציר כך ניתן להשקיע כוח קטן יותר בזמן נתון על מנת לקבל אותה מהירות סיבוב. זה בעצם עיקרון הפעולה של מנוף וגם של המאזניים והנדנדה. הרי ככל שיושבים קרוב יותר לציר, המשקל מורגש פחות, והנדנדה יורדת פחות. הילדים שלי הבינו את זה מזמן והם מושיבים אותי קרוב למרכז, בעוד שהם מתיישבים בצד השני, ממש בקצה הרחוק. כך הם מצליחים "לנצח" אותי ולהוריד את הנדנדה.

למה סביבון לא נופל?

גיל, חבר ותיק, שלח לי שאלה במייל:

לכבוד החנוכה, אולי תוכל להסביר בפשטות מדוע כשמסובבים סביבון הוא לא נופל? – הסבר שגם ילדים קטנים יבינו (וגם אני).
אפשר גם להעמיק לכיוון הגירוסקופ, יו-יו, כוח קוריוליס...

ובכן, השאלה הזו בכלל לא פשוטה - תנועה סיבובית היא אחד הנושאים המסובכים ביותר לתלמידי פיזיקה בתיכון. הסבר מצוין שמיועד לילדים מופיע בגיליון דצמבר 2009 של גליליאו צעיר במדור של בת-שבע וגון, אך התשובה המלאה די מורכבת. נדמה לי שעושים ניתוח מלא של תנועת סביבון בקורס מכניקה לתלמידי פיזיקה לתואר ראשון. אנסה בפוסט הזה לעשות משהו באמצע.

כשמסובבים סביבון אנו מעניקים לו תנע זוויתי. בדומה לתנע קווי, ניתן להתייחס לתנע זוויתי ככמות תנועה, אלא שכאן זו תנועה סיבובית, כלומר תנועה סביב ציר. במערכת סגורה, מבודדת בכל הנוגע לכניסה ויציאה של אנרגיה, התנע הזוויתי נשמר, ולכן בהיעדר הפסדי אנרגיה כתוצאה מחיכוך - הסביבון יסתובב לנצח. גודלו של התנע הזוויתי שווה למהירות הזוויתית (מהירות הסיבוב) מוכפלת במומנט ההתמד. מומנט ההתמד מאפיין את העצם והוא תלוי במסה שלו ובצורתו. למשל, ככל שהמסה של הסביבון מפוזרת יותר, כלומר הסביבון רחב יותר, כך מומנט ההתמד שלו גדול יותר, גם אם מסתו לא משתנה. האנרגיה הקינטית הסיבובית של הסביבון פרופורציונית למומנט ההתמד, ואם ניקח בחשבון שסביבון אמיתי מאבד אנרגיה עקב חיכוך, נגיע למסקנה שסביבון רחב צפוי להסתובב זמן רב יותר מסביבון צר.

לפני שאני ממשיך, סרטון נחמד של סביבון על סביבון שמצאתי ביוטיוב:



מה קורה מרגע שמשחררים את הסביבון מהיד?
בהתחלה, הוא מסתובב בתנועה מורכבת, שתלויה בצורה שבה שחררנו אותו, ואם המהירות הסיבובית גדולה דיה, הסביבון מתייצב תוך זמן קצר במצב כמעט אנכי. עם הזמן, המהירות הזו יורדת עקב הפסדי אנרגיה כתוצאה מחיכוך החלקה. ככל שהחוד של הסביבון דק יותר כך קטנים ההפסדים הללו, ולכן יש יתרון לסביבונים בעלי קצה חד. כשהמהירות יורדת, המצב היציב משתנה והסביבון מתחיל ליפול בגלל כוח הכובד. ניתן להתייחס לכוח הכובד כאילו הוא פועל על נקודה אחת - מרכז המסה של הסביבון. למעשה, בתנועה סיבובית אין חשיבות לכוחות, אלא למומנטים, וכאן נוצר מומנט כוח על נקודת הציר, כלומר על נקודת המגע עם המשטח. המומנט הזה יפיל סביבון שעומד במצב אנכי, בלי להסתובב, אבל ההשפעה שלו על סביבון מסתובב שונה - הוא גורם לשינוי של ציר הסיבוב. לתופעה הזו קוראים נקיפה או פרצסיה.

נקיפה היא מושג מסובך, ולדעתי קל יותר לחשוב עליו באנלוגיה לתנועה סיבובית רגילה. ניקח למשל לוויין שמקיף את כדור הארץ. אם הלוויין היה עומד במקומו, הוא היה נופל מטה עקב פעולת כוח הכובד של כדור הארץ. בעצם, המהירות ההתחלתית מאפשרת לו להישאר במסלול - כוח הכובד מושך את הלוויין לעבר כדור הארץ וכך משנה את כיוון תנועתו. השינוי הזה מתבטא כתנועה מעגלית במסלול. בצורה דומה, מומנט כוח הפועל על סביבון משנה את כיוון ציר הסיבוב וגורם לסביבון לבצע תנועת נקיפה שמורכבת מסיבוב סביב עצמו והקפה של הניצב היוצא מנקודת המגע שלו עם המשטח.

הדגמה יפה של נקיפה בעזרת גלגל אופניים, שמשמש כאן כגירוסקופ, ניתן לראות בסרטון הבא. כוח הכובד, שפועל על מרכז הגלגל, מפעיל מומנט על נקודת החיבור של הגלגל לחבל. המומנט גורם לשינוי מתמיד של ציר הסיבוב, כלומר עקב הסיבוב העצמי של הגלגל הוא לא נופל, אלא מבצע נקיפה:




על גירוסקופ, יו-יו וגם על כוח קוריוליס אני מבטיח להרחיב בפוסטים אחרים.

לקריאה נוספת:
The Motion of a Spinning Top באתר 4Physics
Precession of Spinning Top באתר HyperPhysics

נילס בוהר והברומטר

את הסיפור הזה שמעתי פעמים רבות ונזכרתי בו שוב לפני כמה ימים כשהתחלתי לרשום במחברת מחשבות על חינוך ועל בתי ספר. הסיפור עוסק במבחן שנערך באוניברסיטת קופנהגן שבו נדרשו התלמידים למדוד גובה של בניין תוך שימוש בברומטר. אחד הסטודנטים הציע לקשור חוט לברומטר, לעלות לראש הבניין ולשלשל את הברומטר מטה עד שיגע בקרקע. אורך החוט יחד עם אורך הברומטר הוא גובה הבניין. המרצה הכשיל את הסטודנט, הסטודנט ערער, ומרצה אחר התבקש לפסוק בנושא.

הפוסק אמר שהתשובה נכונה אבל הסטודנט לא הפגין ידע בפיזיקה ולכן יש לבחון שוב את ידיעותיו. הסטודנט התבקש למצוא תשובה "פיזיקלית" יותר. הוא חשב כמה דקות, וכשלא ענה דחק בו הבוחן לענות משום שהזמן עומד להיגמר. הסטודנט אמר שהוא מתלבט בין מספר תשובות: ניתן להפיל את הברומטר ולמדוד את זמן הנפילה (התלוי בגובה), או להשתמש באותו חוט מהתשובה הראשונה וליצור מטוטלת - זמן המחזור של התנודות יהיה תלוי באורך החוט, או להשתמש בחוט קצר יותר ואז לנדנד את המטוטלת על ראש הבניין ועל הקרקע - ההפרש בזמן המחזור קשור לתאוצת הכובד שמשתנה עם הגובה, או למדוד את הצל של הברומטר יחסית לצל של הבניין בשעה שהשמש מאירה, ומובן שניתן גם למדוד את לחץ האוויר על הקרקע ועל גג הבניין ולהמיר את ההפרש לגובה הבניין. וכאן מוסיף הסטודנט את האפשרות העסקית - לגשת לאחראי על הבניין ולומר לו: יש לי ברומטר מצוין שאתן לך בשמחה אם תגלה לי את גובה הבניין. הסטודנט היה נילס בוהר, שהפך לאחד הפיזיקאים הגדולים בהיסטוריה.

הסיפור מעורר אהדה לסטודנט המבריק, היצירתי והנועז (או שמא חצוף), רק חבל שהוא אינו נכון. לא ידוע על שאלה כזו במבחן באוניברסיטת קופנהגן, וגם לא באוניברסיטה אחרת, ואפילו לא בבית ספר, ובוודאי שאין לסיפור קשר כלשהו לנילס בוהר. האזכור הראשון של הסיפור מופיע במגזין אמריקאי ב-1958, ואחר כך גרסה מורחבת יותר מופיעה בספר של אלכסנדר קלנדרה (Alexander Calandra) שיצא לאור ב-1961. שם הוא מסופר כביכול כסיפור אמיתי, אך ללא קשר לבוהר.

מדידת גובה בניין בעזרת ברומטר שמחובר לחוט - זמן המחזור של המטוטלת תלוי באורך החוט

תמיד חשדתי בסיפור הזה שהוא אגדה. חוץ מזה, השאלה עם הברומטר לא הכי מוצלחת לטעמי. היא פשוטה מדי עבור תלמידי פיזיקה וגם מי שיודע מעט פיזיקה יכול לנחש את התשובה. הרעיון הפיזיקלי כאן הוא שלחץ האוויר יורד עם העלייה בגובה, משום שגובה עמוד האוויר (מלמעלה) קטן כשעולים. מבחינה פרקטית זו אינה השיטה המועדפת למדידת הפרשי גובה קטנים משום שהשינוי קטן למדי כשהפרש הגבהים עומד על כמה עשרות מטרים (גובה של בניין גבוה). בעיה נוספת היא התלות של הלחץ בגורמים נוספים, כמו טמפרטורה, אבל על זה דווקא אפשר להתגבר אם משווים בין לחץ האוויר בתחתית הבניין ללחץ האוויר בראשו. בעיה גדולה יותר נובעת משינויים מקומיים בלחץ האוויר, כמו למשל רוח פתאומית שנושבת בגובה של עשרות מטרים. המסקנה היא שלמדידת הפרשי גבהים קטנים עם ברומטר יהיה דיוק נמוך יחסית. מלבד זאת, אני לא אוהב שאלות שמכריחות את התלמיד להשתמש בכלים מסוימים בלבד, במקרה זה ברומטר, ולמען האמת אני גם לא כל כך אוהב את ההתחכמויות של התלמיד (הרי לא צריך ברומטר בשביל לבנות מטוטלת), ובכלל אני לא אוהב מבחנים - אבל זה כבר סיפור אחר.

אבל בכל זאת אני רוצה לקחת את הסיפור הלאה - נניח שמורה רוצה לעודד את התלמידים שלו לחשוב על הקשר בין לחץ אוויר לגובה. מהי הדרך הטובה ביותר לעשות זאת? אני יכול לחשוב על מספר דרכים. בפוסט הזה אני רוצה להתרכז בשיטה שלא מרבים להשתמש בה - דיון כיתתי, עם או בלי הרצאה פרונטלית לפניו. אגב, הרצאה כזו תהיה יעילה במקרה הנוכחי רק אם היא הוכנה בקפידה כך שבסופה היא מעלה שאלות שמובילות לדיון בשיעור הבא. היתרון הגדול בדיון כיתתי נעוץ בכך שהוא יכול להתפתח לכיוונים שונים ומעניינים ובצורה זו הוא יכול להיות כלי נהדר להבנה רחבה ומעמיקה.

לפני כמה שנים עבדתי בעבודה שבה נדרשתי להשתתף לעתים קרובות בישיבות עבודה. אני זוכר עד כמה שלא הייתי יעיל כשהיה מדובר בישיבה פתאומית, ללא זמן להתכונן, וכמה היה המצב שונה כשמצאתי זמן לקרוא את החומר ולהכין את עצמי. דיון כיתתי הוא בעצם מין ישיבת עבודה שכזו, ואני חושב שעדיף שהוא לא יבוא בהפתעה. על מנת לקבל דיון ער ויעיל יש לתת לתלמידים מספיק זמן להתכונן אליו, יום אחד לכל הפחות. בעיני רוחי אני רואה דיון שמתפתח מעבר לשאלת התלות של לחץ האוויר בגובה, ומעבר להבנה שברומטר הוא כלי לא מדויק למדידת גובה של בניין, לכיוונים אחרים כמו למשל השפעת הגובה על גדלים אחרים, ואפילו מציאת שיטות שונות למדידת גבהים, למשל בעזרת שעון מדויק ומקור לייזר, ובעצם כל כלי אחר שהעולם המודרני יכול לספק לנו.

כוח ג'י (g-force)

הצטערתי מאוד לשמוע על התרסקות מטוסו של אסף רמון לפני יומיים. בעקבות הטרגדיה עקבתי, כמו רבים אחרים, אחרי הסיקור בכלי התקשורת וניסיתי להבין את הגורם לתאונה. בדיווחים אודות חקירת האירוע מוזכר לא אחת המושג כוח ג'י. זה מושג מסובך למדי, וקיים בלבול לגביו בעיתונים ובאתרי אינטרנט. אנסה להסביר בפוסט הזה מהו כוח ג'י וממה הוא נובע.

מקור השם כוח ג'י (g-force) באות הראשונה של המילה gravity (כבידה), אך הוא לא קשור ישירות לכוח המשיכה של כדור הארץ, ואולי כאן מקור הבלבול. הקשר בין כוח ג'י לכבידה עובר דרך תאוצת הכובד (תאוצה היא שינוי מהירות) שמסומנת באות g. גודלה של תאוצת הכובד כמעט קבוע על פני כדור הארץ (9.8 מטר לשנייה בריבוע), ובשימושים רבים היא מהווה יחידת מידה לתאוצה. כך למשל, אם אומרים שהתאוצה של מכונית היא 2g, הכוונה היא שערכה עומד על 19.6 מטר לשנייה בריבוע, כלומר המהירות עולה ב-19.6 מטר לשנייה בכל שנייה שעוברת.

תאוצת הכובד (g) יכולה לסייע גם בהגדרת יחידת מידה לכוח. משקל הוא כוח הכובד שפועל על גוף, וערכו שווה למסת הגוף כפול תאוצת הכובד (mg). באופן הפשוט ביותר ניתן להתייחס לכוח ג'י כיחידת מידה לכוח, שמוגדרת כך שמשקל הגוף שקול לכוח ג'י אחד. לדוגמה, כשאומרים שפועלים 5 כוחות ג'י מתכוונים לומר שעוצמת הכוח היא מסת הגוף כפול 5g (כלומר 5mg).

בדרך כלל, משתמשים במושג כוח ג'י בהקשר של כוח הפועל על אדם שנוסע בכלי תחבורה. הכוח הזה מורכב משני רכיבים: כוח הכובד שכיוונו תמיד כלפי מרכז כדור הארץ וכוח נוסף הנובע מהתאוצה של הכלי עצמו. הכוח השני מיוחד בכך שהוא לא נובע מדחיפה או מפעולה של גוף אחר, לכן ניתן להתייחס אליו כאל כוח מדומה. מקור הכוח המדומה בשינוי המהירות של כלי התחבורה - גופים שנמצאים בתוכו ממשיכים לנוע באותה מהירות יחסית לסביבה שבחוץ גם כאשר הכלי מאיץ או מאט. אולם, זו כבר לא המהירות של כלי התחבורה, ולכן אותם גופים נעים בתוכו כאילו שפועל עליהם כוח בכיוון הפוך לתאוצת הכלי. גודלו של הכוח המדומה הפועל על גוף שנמצא בתוך כלי שווה למסת הגוף כפול התאוצה של הכלי.

לדוגמה, כשרוכב אופניים לוחץ חזק על הבלמים, גופו ממשיך באותה מהירות קדימה בעוד שהאופניים עצרו, ולכן הוא עלול לעוף קדימה. באופן דומה, כאשר כלי רכב מאיץ ממנוחה, חפצים בתוך הרכב עפים אחורה משום שהם עדיין במהירות אפס יחסית לסביבה. דוגמאות נוספות הן הכוח שאנו מרגישים כלפי מטה כשהמעלית מתחילה לנוע מעלה והכוח שאנו מרגישים כלפי מעלה כשהיא עוצרת בסוף העלייה. גם הכוח הצנטריפוגלי הוא דוגמה לכוח מדומה - המכונית מסתובבת במעגל, כלומר היא מאיצה כלפי מרכז המעגל, ואילו הנוסעים "עפים" לצד השני.

המרחב של אדם שנמצא בתוך כלי תחבורה הוא מוגבל - אותו אדם קשור בדרך כלל בחגורות על מנת שלא יעוף לכיוון דפנות הכלי כשהמהירות משתנה. החגורות והכיסא שעוצרים אותו על מנת שלא יתעופף הם אלו שמפעילים עליו כוח בזמן התאוצה. למשל, טייס שנמצא במטוס המאיץ כלפי מעלה בתאוצה של 5g ירגיש 5 כוחות ג'י כלפי מטה כתוצאה מהתאוצה ועוד כוח ג'י אחד בגלל המשקל שלו, ביחד 6 כוחות ג'י. הוא יידחף בכוח רב לכיוון הכיסא, וירגיש את הלחץ שמפעיל עליו הכיסא בחזרה. הוא עצמו ירגיש כבד פי 6 מהרגיל ויתקשה להרים את ידיו. הסכנה הראשונית לגוף אינה נזק מבני, משום שהעצמות יכולות לעמוד בעומס כזה, אלא הכוח שפועל על הדם כלפי מטה. הלב מתקשה להזרים דם למוח והטייס עלול לאבד את ההכרה (מצב שנקרא G-LOC).

חליפות ג'י יכולות לסייע במצב כזה. הן מפעילות לחץ על הרגליים ועל הבטן ודוחפות את הדם חזרה למוח. על ידי שימוש בחליפת ג'י ובשיטות נוספות הנרכשות באימונים יכולים טייסי קרב להגדיל את הסיבולת שלהם, כך שלא יאבדו את ההכרה גם כשפועלים עליהם 9 כוחות ג'י למשך שניות ארוכות. ללא שימוש באמצעים אלה טייס ממוצע יאבד את ההכרה אחרי כחמש שניות תחת 6 כוחות ג'י.

כוח ג'י הכולל שפועל על הטייס מורכב מכוח הכובד שפועל כלפי מטה (המשקל) ומהכוח המדומה הפועל בכיוון הפוך לתאוצת המטוס. כאמור, ערכו של הכוח המדומה תלוי בתאוצה והוא יכול להיות הרבה יותר חזק מכוח הכובד. כשהמטוס מבצע פנייה אופקית חדה פועלים על הטייס כוחות ג'י הצידה, לכיוון השני. כשהמטוס מאיץ חזק כלפי מטה פועלים עליו כוחות ג'י כלפי מעלה והם גורמים לזרימת דם מוגברת למוח, מצב מסוכן לא פחות ממחסור של דם במוח. למעשה, הסיבולת של בני אדם לכוחות ג'י שליליים, שפועלים כלפי מעלה, הרבה יותר נמוכה מהסיבולת לכוחות ג'י חיוביים, עד כדי כך שאין אפשרות לעמוד ב-3 כוחות ג'י כלפי מעלה למשך למעלה משניות ספורות. כשכלי הטיס נמצא בנפילה חופשית, כלומר תאוצת המטוס שווה לתאוצת הכובד, לא פועלים על הטייס כוחות ג'י בכלל. זה בדיוק מה שקורה לאסטרונאוטים שמרחפים בתוך מעבורת החלל, שגם היא נמצאת במצב של נפילה חופשית.

הסיבולת לכוחות ג'י גבוהים משתנה מאדם לאדם, והיא תלויה, כאמור, גם בכיוון פעולת הכוח, באמצעים חיצוניים כמו חליפת ג'י, בשיטות נשימה ותנועה שניתן ללמוד, וגם במשך פעולת הכוח. בשעת התרסקות או עצירה מהירה, ניתן להגיע לכוחות ג'י עצומים שנמשכים חלקיק שנייה. השיא העולמי המדוד - 46.2 כוחות ג'י - הושג לפני למעלה מחמישים שנה בניסוי אמריקאי.




הסרטון מדגים את ההשפעה של כוחות ג'י על נוסע במטוס קרב בעת ביצוע תמרון אימלמן. מגיעים שם בערך לשישה כוחות ג'י. לשם השוואה, במטוס נוסעים לא נחשפים בעת טיסה רגילה ליותר מ-1.3 כוחות ג'י.

לקריאה נוספת - סדרת כתבות בנושא מושג המסה: חלק ראשון, חלק שני

למה אסטרונאוטים מרחפים במעבורת החלל?

זאת שאלה שרבים טועים בה. אמנם אסטרונאוט שנמצא בחללית רחוקה מכדור הארץ כמעט שלא ירגיש את כוח הכבידה וירחף בחללית, אבל מעבורת החלל ותחנת החלל טסות בגובה נמוך יחסית. אני לא כל כך אוהב נוסחאות, אך בכל זאת עשיתי לי הרגל להשתמש בהן לצורך חישובים פשוטים, כאלו שאפשר לעשות על פתק קטן או על גב מעטפה. הפעם הייתי צריך רק מחשבון. מעבורת החלל טסה בגובה של כ-350 ק"מ מעל פני כדור הארץ. אם מציבים בנוסחה של תאוצת הכובד מרחק של 6,750 ק"מ במקום 6,400 ק"מ (רדיוס כדור הארץ) רואים שתאוצת הכובד במעבורת החלל קטנה בערך ב-10% יחסית לתאוצה על פני כדור הארץ (8.8 מטר לשנייה בריבוע במקום 9.8 מטר לשנייה בריבוע). אם כך, כוח הכובד שפועל במעבורת החלל אינו קטן באופן ניכר מכוח הכובד שפועל על פני כדור הארץ, ולכן יש לחפש הסבר אחר לתופעת הריחוף במעבורת החלל.

שחמט בחלל. מקור: נאס"א

ההסבר הפשוט הוא שתאוצת הכובד פועלת על מעבורת החלל ועל האסטרונאוטים באותה מידה, כלומר הם נמשכים באותה עוצמה כלפי כדור הארץ. המשיכה הזו מתבטאת בתנועה במסלול סביב כדור הארץ של המעבורת וגם של האסטרונאוטים. בפועל הם נעים יחד ולכן לאסטרונאוטים אין תנועה יחסית למעבורת והם מרחפים בתוכה. זה המקום להעיר שבמצב כזה שבו הכוח היחיד הפועל על גוף הוא כוח הכובד, אנו אומרים שהגוף נמצא בנפילה חופשית. אם יש לו מהירות אופקית התחלתית בגודל הנכון הוא לא ייפול לעבר מקור כוח הכובד אלא יסתובב סביב אותו מקור. הנפילה החופשית מתבטאת בתנועה במסלול ללא השקעה של כוח חיצוני. ואכן המעבורת לא מפעילה את המנועים שלה כשהיא במסלול. בכלל, הפעלת מנועים של לוויינים (מעבורת החלל היא לוויין של כדור הארץ כשהיא במסלול) נעשית רק לצורך תיקוני מסלול.

למעשה, השאלה בכותרת של הפוסט מהותית יותר. לא מדובר רק באותה תנועה של שני הגופים (האסטרונאוט והמעבורת) וריחוף פיזי בתוך המעבורת, אלא עצם התחושה שיש לאדם שנמצא בנפילה חופשית. ובכן, התחושה של חוסר משקל מורגשת על ידי כל מי שנמצא בנפילה חופשית, בין אם הוא נמצא בתוך המעבורת או שהוא יוצא למשימה מחוץ למעבורת ואפילו אם הוא קופץ חלילה מראש מגדל. מי שעומד על הקרקע מרגיש את המשקל של עצמו בגלל שהקרקע מפעילה עליו כוח זהה למשקל שלו בכיוון ההפוך. המשקל הוא בעצם כוח הכבידה שמופעל על עצם שנמצא על פני כדור הארץ, ואילו הכוח שמופעל על העצם חזרה מהמשטח קרוי המשקל הנדמה (apparent weight). תחושת המשקל נובעת דווקא מקיומו של המשקל הנדמה, ותחושת חוסר-משקל נובעת מאי-קיומו של משקל נדמה במצב של נפילה חופשית.

איינשטיין סיפר ב-1922 על הניצוץ הראשון של תורת היחסות הכללית, 15 שנה קודם לכן:

ישבתי על כיסא במשרד הפטנטים בברן. לפתע עלתה בראשי מחשבה: אם אדם נופל בנפילה חופשית, הוא לא מרגיש את המשקל של עצמו. נדהמתי. הניסוי המחשבתי הפשוט הזה הותיר עלי רושם חזק. זה הוביל לתורת הכבידה.

קרוב לוודאי שהמחשבה הזו, שאותה הגדיר איינשטיין בתור "המחשבה המאושרת ביותר בחיי", לא הייתה מקורית לחלוטין אלא עלתה בראשו בעקבות קריאת ספרו של ארנסט מאך, אחד המדענים שהשפיעו עליו יותר מכול. אך איינשטיין הרחיב את הרעיון וניסח את עקרון השקילות: תנועה בשדה כבידה שקולה לתנועה במערכת מואצת. עקרון השקילות איפשר לאיינשטיין להתמודד עם הכבידה באמצעות ניתוח של מערכות מואצות ולהתאים את תורת הכבידה לעקרונות תורת היחסות. תוך שמונה שנים הוא הצליח לנסח את תורת היחסות הכללית.

אנסה להסביר קצת את עקרון השקילות ואת הקשר לנפילה חופשית. כאמור, אדם שנמצא בחללית רחוקה מכדור הארץ מרגיש חוסר-משקל והוא מרחף בחללית, אבל אם החללית מתחילה להאיץ קדימה, האדם נע בתוך החללית לכיוון ההפוך - אחורה. אפשר לחשוב על זה כך: לא פועל על האדם כוח ולכן הוא נוטה להמשיך באותה מהירות (החוק הראשון של ניוטון), אבל החללית החלה להאיץ קדימה, ולכן הוא נזרק לכיוון הקיר האחורי. כשהאדם יתנגש בקיר החללית הוא יתחיל להרגיש את הכוח שמפעיל עליו הקיר. בצורה דומה אדם שעומד על קרקע של כוכב לכת נמשך לעבר מרכז כוכב הלכת ומרגיש את הכוח שמפעילה עליו הקרקע (המשקל הנדמה). אדם בנפילה חופשית נמצא במצב מיוחד - מצד אחד פועלת עליו כבידה ומצד שני הוא נמצא במערכת מואצת. שני הגורמים הללו מבטלים האחד את השני (לפי עקרון השקילות - כבידה שקולה לתאוצה כלפי מעלה) והאדם מרגיש חוסר-משקל.

לסיום, אני רוצה לקחת את הנושא של נפילה חופשית צעד אחד קדימה ולהתבונן על היקום כולו. עקרון מאך קובע שעל מנת לנתח התנהגות של מערכת יש לקחת בחשבון את ההשפעה עליה של כל המסות ביקום. אני אישית רואה זאת כך: גופים נמצאים במצב של נפילה חופשית יחסית לשאר העצמים ביקום, והכוונה לכל גוף שהכוח היחיד שפועל עליו הוא כבידה. זה יכול להיות אדם מרחף בחלל, כוכב לכת, כוכב, גלקסיה או אפילו צביר גלקסיות. בהקשר זה, גלקסיות נמצאות בנפילה חופשית גם ביקום המתרחב, ולכן לא פועל עליהן כוח מעצם התפשטות היקום.

מאמר יפה של צבי עצמון על נושא זה: כבידה חסרת משקל, התפרסם בגלילאו 76, דצמבר 2004.

לקריאה נוספת בבלוג זה: כוח ג'י (g-force)

כוח עילוי - הסבר פשוט (יחסית)

בילדותי השתתפתי בחוג טיסנאות. הגעתי לרמת מדריך אחרי שעברתי קורס אינטנסיבי ומרתק בטכניון. אני זוכר את ההסבר שקיבלנו להיווצרות כוח עילוי על כלי טיס: בעת המגע עם החלק הקדמי של הכנף האוויר מתפצל לשניים ונפגש שוב בחלק האחורי של הכנף. הפרופיל הקמור בחלקה העליון של הכנף גורם לכך שזרם האוויר מעל לכנף עובר דרך ארוכה יותר ולכן המהירות שלו גבוהה יותר. לפי עקרון ברנולי אם מהירות הזרימה גבוהה אז הלחץ נמוך, ולכן הלחץ מעל לכנף נמוך מאשר הלחץ מתחת לכנף. הפרשי לחץ אלו גורמים להיווצרותו של כוח. כוח מוגדר כלחץ כפול שטח והוא פועל בניצב למשטח. ניתן לחשב את הכוח האווירודינמי הכולל שפועל על הכנף אם יודעים את לחץ האוויר בכל נקודה על הכנף. בתנאי טיסה רגילים הכוח הזה מכוון למעלה ומעט אחורה וניתן להפריד אותו לשני מרכיבים: הרכיב האנכי הוא כוח העילוי (lift), והרכיב האופקי הוא הגרר (drag).

הכוחות הפועלים על מטוס

משהו בהסבר לא נראה לי בזמנו, אבל הייתי צריך לעבור את מבחן ההסמכה ולא התעמקתי בכך. אחרי הקורס ניסיתי למצוא הסבר טוב יותר אך לא מצאתי. מה עוד שההסבר שניתן לי נפוץ מאוד ומופיע בהמון ספרים. רק לפני מספר שנים, כשהייתי חייב להבין לעומק את מקור כוח העילוי במסגרת עבודתי, נוכחתי לדעת שההסבר אכן שגוי. השגיאה היא זו: אין סיבה להניח שהזמן שלוקח לאוויר לעבור את המסלול מעל לכנף שווה לזמן שלוקח לו לעבור את המסלול מתחת לכנף. כלומר, שני הזרמים לא חייבים להיפגש באותו זמן. בפועל, שני זרמי האוויר לא מגיעים יחד - זרם האוויר מעל לכנף מגיע בדרך כלל קודם, כלומר הוא מהיר יותר ממה שהנחנו בהסבר הנ"ל. אגב, לפי ההסבר הזה (השגוי) עילוי שלילי יפעל על מטוס שטס הפוך משום שכעת המסלול הארוך נמצא למטה, ועל מטוס-נייר שכנפיו שטוחות לא יפעל עילוי כלל משום שהמסלולים מעל ומתחת לכנפיים שווים באורכם. שתי המסקנות הללו כמובן שגויות.

אם כך, איך ניתן להסביר את כוח העילוי הפועל על כלי טיס?
ראשית, יש לציין שהעילוי נובע מהאינטראקציה בין גוף מוצק (גוף המטוס והכנפיים) ובין גז או נוזל שמקיפים אותו. שנית, לצורך היווצרות עילוי חייבת להיות תנועה יחסית ביניהם, כלומר כלי הטיס צריך לנוע בתוך האוויר או שהאוויר צריך לנשוב לעבר כלי הטיס.

ניתן לחשב את כוח העילוי בעזרת פתרון משוואות נוויה-סטוקס (Navier-Stokes), אך זו משימה שאיננה פשוטה כלל ועיקר. בדרך כלל משתמשים בקירוב כלשהו ופותרים באופן נומרי במחשב. אחר כך בודקים הדמיות של התנהגות הכנף בעת טיסה ובסוף מנסים במנהרת רוח. באופן כללי, העילוי יחסי לשטח הכנפיים, לצפיפות האוויר ולריבוע המהירות היחסית בין המטוס לאוויר. הגורם הנוסף הוא כמובן צורת הכנף והכיוון שלה (זווית התקפה). צורת הכנף היא הגורם המסובך ביותר. עקב התלות המורכבת הזו אין הסבר תאורטי בסיסי לשאלה "למה נוצר כוח אווירודינמי על הכנפיים?". לכן, יש להסתפק בהסבר שיש בו מרכיב ניסיוני, והוא מבוסס על מה שרואים במדידות בפועל.

משוואת כוח העילוי

ההסבר להיווצרות כוח העילוי מתבסס על חוקי ניוטון. לפי החוק השני של ניוטון שינוי במהירות נובע בהכרח מפעולה של כוח. אגב, גם שינוי בכיוון התנועה ללא שינוי בגודל המהירות הוא שינוי במהירות מבחינת החוק השני של ניוטון (משום שהמהירות מופיעה בחוק כווקטור). אם מסתכלים על תנועת האוויר סביב כנף מטוס רואים שהאוויר סוטה מכיוון תנועתו המקורי לאחר שהוא בא במגע עם הכנף. זה אומר בעצם שמהירות האוויר עברה שינוי, כלומר פעל על האוויר כוח. במילים אחרות הכנף הפעילה כוח על האוויר שגרם לו לשנות את כיוון תנועתו. כפי שניתן לראות באיור, לפני הפגיעה של האוויר בכנף, האוויר נע במקביל לכנף, ואילו אחרי הפגיעה בה הוא סוטה מעט מטה. הכוח שאחראי לסטייה הזו צריך להיות מאונך כלפי מטה. התוצאה הזו מבוססת על חשבון וקטורי - יש לקחת את ההפרש בין וקטור מהירות האוויר יחסית לכנף לפני הפגיעה בה ובין וקטור מהירות האוויר אחרי הפגיעה. חישוב מדויק יותר מראה שהכוח שהכנף מפעילה על האוויר פועל באלכסון: יש לו רכיב גדול יחסית למטה ורכיב קטן קדימה.

הסבר להיווצרות כוח העילוי באמצעות חוקי ניוטון: הסטת האוויר כלפי מטה יוצרת כוח תגובה של האוויר שפועל על הכנף כלפי מעלה

חוק הפעולה והתגובה של ניוטון (החוק השלישי) גורס שכאשר עצם מפעיל כוח על עצם אחר, העצם השני מפעיל כוח זהה בעצמתו והפוך בכיוונו על העצם הראשון. אם כך, האוויר מפעיל כוח על הכנף בכיוון הפוך מכיוון הכוח שהיא מפעילה עליו. האוויר מפעיל כוח אחורה וכלפי מעלה. הרכיב האנכי הוא כוח העילוי והרכיב האופקי הוא כוח הגרר. בהסבר הזה יש בעיה - הוא לא עוזר לנו לחשב מראש את כוח העילוי, אלא הוא אומר שבפועל האוויר סוטה ממסלולו ומידת הסטייה יכולה לומר לנו מה גודלו וכיוונו של הכוח שהכנף הפעילה עליו. כאמור, כוח זה שווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שהאוויר מפעיל חזרה על הכנף. בכל זאת, לדעתי זה ההסבר הטוב ביותר להיווצרות כוח העילוי, גם אם הוא לא מלא. צריך רק להיזהר ולא להתייחס לאוויר כאל עצם שפוגע רק בחלק התחתון של הכנף וניתז ממנו - זה הסבר חלקי שלא לוקח בחשבון את פעולת החלק העליון של הכנף. מבלי לקחת בחשבון את החלק העליון של הכנף לא ניתן להבין מדוע לפעמים פועל על הכנף עילוי שלילי. עילוי שלילי קשור להסטה של זרימת האוויר כלפי מעלה, כלומר אם לוקחים בחשבון את שני צדי הכנפיים, ההסבר המבוסס על חוקי ניוטון מתאים גם למקרה של עילוי שלילי. ניתן לשחק עם ההדמיות באתר של נאס"א שאני ממליץ עליו בסוף הפוסט ולראות באילו תנאים העילוי הופך מחיובי שלילי.

קיים הסבר נוסף [הערה: זה ההסבר המועדף בספר המצוין Introduction to Flight" by John David Anderson"]. הרעיון הוא שהאוויר מעל לכנף מנותב לקווי זרימה (ניתן לדמות אותם לצינורות) צפופים יותר. זה דומה לזרימה בחלק הדק של צינור ונטורי שהיא מהירה יותר משום שאותה מסה של אוויר צריכה לעבור בצינור דק. כתוצאה מעקרון ברנולי המהירות הגבוהה של האוויר מעל לכנף גורמת שם לירידת לחץ ולהיווצרות כוח עילוי. גם ההסבר הזה אינו מלא, משום שקווי הזרימה של האוויר אינם צינורות וההקבלה אינה מדויקת. במילים אחרות יש כאן הנחה שההצדקה שלה היא ניסיונית. כדאי לשים לב שההסבר הזה שונה מההסבר השגוי שרשמתי בתחילת הפוסט משום שהוא לא מבוסס על אותה הנחה שגויה בדבר זמן תנועה שווה של שני הזרמים - מעל ומתחת לכנף.

הסבר נוסף להיווצרות כוח העילוי באמצעות קווי זרימה שמתנהגים כמו צינורות ונטורי

עוד הערה באותו נושא: אפקט קואנדה הוא הנטייה של גז או נוזל להיצמד למשטח שעליו הוא זורם. בשנים האחרונות הופיע הסבר חדש שלפיו אפקט קואנדה אחראי לכוח העילוי. ההסבר הזה שגוי - לאפקט קואנדה יש השפעה קטנה מאוד על העילוי. בהזדמנות ארחיב על אפקט קואנדה.

אתרים מומלצים: 1) Beginner's Guide to Aeronautics- NASA - אתר מצוין עם המון הדמיות Java. האתר הזה הוא גם המקור לשלושת האיורים הראשונים. האיור הרביעי נלקח מ-Wikimedia Commons.
2) See How It Flies