יום ראשון, 27 באוגוסט 2017

המסה על פי איינשטיין

מסה היא מושג בעל מספר משמעויות בפיזיקה, ושתיים מהן הצגתי בפוסט אודות אייזק ניוטון והגדרת מושג המסה. במכניקה המבוססת על שלושת חוקי ניוטון וחוק הכבידה האוניברסלי יש למסה שתי הגדרות: התנגדות לשינוי מהירות ויצירת כוח משיכה. אלברט איינשטיין היה זה שהרחיב את מושג המסה באופן מהותי והוא עשה זאת על ידי הצגת נוסחה שהפכה עם הזמן לנוסחה המפורסמת ביותר בפיזיקה.


נוסחה זו שעומדת בבסיס תורת היחסות הפרטית מקשרת בין שלושה גדלים. האות E מסמלת את האנרגיה, האות m מסמלת את המסה והאות c מסמלת את מהירות האור בריק שערכה עומד על 299,792,458 מטר לשנייה.

הנוסחה אומרת בפשטות שאם אנו לוקחים את המסה ומכפילים אותה במספר קבוע גדול מאוד אנו מקבלים את האנרגיה, אך המשמעות העמוקה היא שקיימת זהות בין מסה לאנרגיה. מהירות האור בריבוע היא מספר גדול מאוד, לכן שינוי קטן במסה מתבטא כשינוי עצום באנרגיה, אבל זה עדיין לא אומר אם וכיצד ניתן להמיר מסה לאנרגיה שימושית דוגמת אנרגיית אור או חום. איינשטיין ייחד מאמר שלם לנוסחה זו המהווה את אחד מארבעת המאמרים המשפיעים כל כך שנכתבו בשנת 1905 - שנת הפלאות של אלברט איינשטיין. אגב, איינשטיין לא היה הראשון שקישר בין ביטוי של מסה לביטוי של אנרגיה בדרך זו, אך הוא היה הראשון שיצר זהות אוניברסלית בין מסה לאנרגיה במסגרת תורה פיזיקלית שלמה, הרי היא תורת היחסות הפרטית.

במבט ראשוני, המשמעות הנוספת למסה נראית מכבידה ונשאלת השאלה איך זה מסתדר עם ההגדרות הקודמות של המסה? אני אישית לא רואה בכך בעיה משום שאני סבור שהפיזיקה משופעת במושגים בעלי ריבוי משמעויות, והרחבתי על כך בפוסט "על מתמטיקה, פיזיקה ופוליסמנטיות". בעיני עלולה להתעורר בעיה רק אם יש סתירה בין המושגים, מצב שיכול להוביל לפרדוקסים פיזיקליים. במקרה הנוכחי לא נוצרת סתירה משום שהנוסחה של איינשטיין לא רק מגדירה זהות בין מסה לאנרגיה וכך מרחיבה את מושג המסה, אלא בו בזמן מרחיבה את מושג האנרגיה באופן שלא יסתור את הפיזיקה שקדמה לתורת היחסות. למעשה, כשמנתחים תנועה במהירות נמוכה באופן ניכר ממהירות האור ועורכים את חישובי האנרגיה המתאימים תורת היחסות והמכניקה שקדמה לה יספקו ניבויים זהים.

זה המקום להעיר שהנוסחה של איינשטיין מרחיקה עוד יותר את ההגדרה של מסה מ"כמות החומר" ומקרבת אותה לעבר הגדרה שעוסקת ב"כמות האנרגיה", ולפי נקודת מבט זו מסה אינה קשורה רק לחומר שממנו עשוי העצם, אלא גם למאפיינים נוספים שלו. אבל האם ייתכן שמסה אכן גדלה כשהמהירות עולה? ובכן, התשובה לא כל כך פשוטה משום שאת הנוסחה של איינשטיין ניתן לפרש בשתי צורות. המשותף לשני הפירושים הוא שמסת גוף שנמצא במנוחה, כלומר איננו נע, מגדירה אנרגיית מנוחה של הגוף. ההבדל בין הפרשנויות מתבטא בהשפעת המהירות על המסה.

- פרשנות 1 לנוסחת איינשטיין: האות m מסמלת אך ורק את מסת המנוחה של הגוף והיא מהווה גודל קבוע שאינו תלוי במהירות התנועה של הגוף, ובהתאם האות E בנוסחה מסמלת את אנרגיית המנוחה של הגוף. על מנת לחשב את האנרגיה הכללית יש לקחת בחשבון את אנרגיית המנוחה ואת האנרגיה הקינטית (אנרגיית התנועה) שמקורה במהירות. בעזרת נוסחה פשוטה ניתן לחשב את האנרגיה הכללית בתנאי שיודעים את אנרגיית המנוחה ואת המהירות. מהירות התנועה אינה יכולה לעבור את מהירות האור בריק, והאנרגיה שואפת לאינסוף כשהמהירות מתקרבת לגבול זה.

- פרשנות 2 לנוסחת איינשטיין: האות m מסמלת את המסה בכל מהירות שהיא והאות E מסמלת את האנרגיה המתאימה לה. לפי גישה זו המסה כבר אינה גודל קבוע, אלא ערכה עולה עם עליית המהירות ובהתאמה עולה גם ערכה של האנרגיה. המסה בפרשנות זו מכונה מסה יחסותית. נוסחה פשוטה מקשרת בין מסת המנוחה והמהירות למסה היחסותית, והכפלה של המסה היחסותית במהירות האור בריבוע נותנת ישירות את האנרגיה הכללית שכבר כוללת בתוכה את אנרגיית המנוחה ואת האנרגיה הקינטית. כשמהירות התנועה מתקרבת למהירות האור בריק המסה היחסותית וגם האנרגיה שואפות לאינסוף.

ההבדל בין הפרשנויות מוביל להבדל בהגדרת המסה. לפי הפרשנות הראשונה מסה אחראית ליצירת חלק מהאנרגיה של הגוף הקרוי אנרגיית מנוחה ולפי הפרשנות השנייה קיימת זהות מוחלטת בין מסה לאנרגיה. רוב הפיזיקאים מעדיפים את הפרשנות הראשונה, ואילו אני משתייך למיעוט שמעדיף, לפחות מבחינה רעיונית, את הפרשנות השנייה, ולו משום שבמסגרת תורת היחסות הפרטית התכונות הנוספות שאותן יוצרת המסה - התמדה ויצירת כוח משיכה - אכן משתנות כשהעצם נע במהירות גבוהה. אגב, לפי הפרשנות השנייה גם חלקיקים חסרי מסת מנוחה הנעים במהירות האור, דוגמת חלקיקי האור הקרויים פוטונים, הם בעלי מסה וזאת מעצם העובדה שיש להם אנרגיה.

היתרון של הפרשנות הראשונה הוא שהיא קלה יותר להבנה משום שהיא מגדירה מסה אחת בלבד ולא שתיים (מסת מנוחה ומסה יחסותית), ובנוסף היא גם נוחה יותר לחישובים. הפרשנות השנייה, לעומת זאת, נראית לי נכונה יותר מבחינה קונספטואלית משום שהיא מאפשרת התאמה בין ההגדרה האיינשטיינית החדשה של המסה ובין ההגדרות הניוטוניות הישנות. קיימת כמובן התאמה בין שתי הפרשנויות ובפועל התחזיות לגבי גדלים נמדדים זהים בשתיהן. ראוי להעיר שהמסה עצמה לא יכולה להימדד ישירות, אפילו בגישה הניוטונית, והערכת גודלה מחייב מדידות אחרות דוגמת מדידת כוח המשיכה הכבידתי.




מהירות איננה הגורם היחיד המשפיע על המסה וקיימים גורמים נוספים שיכולים להגדיל אותה או להקטין אותה. כך למשל עליית טמפרטורה, שכידוע מעלה את האנרגיה של הגוף, מעלה במידה קטנה מאוד גם את המסה שלו. בכיוון ההפוך, אנרגיית קשר שקיימת בין הנוקלאונים המרכיבים את גרעין האטום מקטינה את האנרגיה ובהתאם לנוסחה של איינשטיין מקטינה גם את המסה. ככל שפער מסות זה, יחסית למספר הנוקלאונים, גדול יותר כך הגרעין יציב יותר ונוטה פחות להתפרק. מצד שני אנרגיית קשר נמוכה מאפיינת גרעינים של איזוטופים רדיואקטיביים שמתפרקים בתהליכים גרעיניים.

מקורה של האנרגיה המשתחררת בכור גרעיני או בפצצה גרעינית הוא בהפרש בין אנרגיית הקשר של הגרעין המתפרק בתהליך ביקוע גרעיני לאנרגיות הקשר של התוצרים שלו. זה גם מקורה של האנרגיה הנוצרת בתהליכי היתוך גרעיני של גרעינים קלים לכבדים, אלא שלצורך היתוך יש צורך להפגיש את הגרעינים הקלים ולהתגבר על הדחייה החשמלית ביניהם, הרי כל הגרעינים טעונים במטען חיובי. בשל כך תהליכי היתוך גרעיני ייתכנו רק בטמפרטורות גבוהות מאוד שבהן הגרעינים נעים מהר ויכולים להתקרב זה לזה. חשוב לי להדגיש שנוסחת איינשטיין אכן מצביעה על אפשרות של הפקת אנרגיה באמצעות שינויי מסה, אך בניגוד לדעה הרווחת בציבור לאלברט איינשטיין עצמו אין שום קשר ישיר לפיתוח אנרגיה גרעינית ופצצות גרעיניות.

תוצאה דרמטית עוד יותר מתרחשת בתהליכי איון (אניהילציה) שבהם חלקיקים מתנגשים ונעלמים לחלוטין. אם ההתנגשות מתרחשת בריק חוק שימור האנרגיה מחייב יצירת חלקיקים חדשים. תהליך כזה בדיוק קורה במאיצי חלקיקים ללא הרף. כך למשל במאיץ של אלקטרונים ופוזיטרונים (אנטי-חומר של אלקטרונים) התנגשות של אלקטרון ופוזיטרון יכולה לגרום לאיונם וליצירת שני פוטונים. בתהליך זה מסת המנוחה של האלקטרון והפוזיטרון, השקולה לאנרגיית המנוחה שלהם, הומרה לאנרגיית תנועה של הפוטונים.

אם אנרגיית התנועה של החלקיקים המתנגשים גבוהה אז יכולה להתרחש יצירה של חלקיקים מסיביים. בתהליך זה אנרגיית התנועה של החלקיקים המתנגשים מומרת לאנרגיית מנוחה של חלקיקים חדשים. זו הדרך שבה ייצרו את בוזון ההיגס במאיץ ה-LHC, המבוסס על התנגשויות של פרוטונים במהירויות גבוהות מאוד. לצערנו, ויש הטוענים למזלנו, מכמה סיבות לא הצליחה עדיין האנושות לנצל באופן מקרוסקופי אנרגיה שמקורה בתהליכי איון, ולו משום שחלקיקי אנטי-חומר נדירים מאוד ביקום.

קרדיטים לאיורים:
איור ראשון - שחר מלמד-כץ ולוטם מלמד-כץ
איור שני - ראם מלמד-כץ

יום רביעי, 23 באוגוסט 2017

אייזק ניוטון והגדרת מושג המסה

בפוסט הקודם הסברתי למה אני חושב שהגדרת המסה בתור כמות החומר אינה טובה. אז איך בכל זאת ניתן להגדיר את המסה? בפוסט הזה אעסוק בשתי הגדרות בסיסיות של מסה ושתיהן קשורות לעבודתו של אייזק ניוטון.

1) התמדה: מסה גורמת להתנגדות לשינוי מהירות.
תכונה זו של מסה מנוסחת היטב בחוק התנועה השני של ניוטון שלפיו כוח שווה למסה כפול תאוצה (שינוי מהירות).
אם נסמן כוח באות F, מסה באות m ותאוצה באות a, אז החוק השני ינוסח בצורה הבאה:
 
 F=ma

נוסחה זו אפשר לרשום גם בדרך הבאה: a=F/m. המשמעות היא שאם הכוח לא משתנה הגדלת המסה מקטינה את התאוצה והקטנת המסה מגדילה את התאוצה. תכונה זו של המסה ניכרת כמעט בכל ניסוי מכני. אם למשל נבדוק את התאוצה ואת התאוטה של כלי רכב נגלה שהמסה היא גורם משמעותי. משאית מאטה לאט לפני רמזור אדום ומאיצה לאט אחרי שהצבע מתחלף לירוק משום שמסתה גבוהה. לעומת זאת, בתכנון של מכוניות מרוץ מנסים להקטין ככל האפשר את המסה על מנת לאפשר תאוצה ותאוטה גבוהות במיוחד. למעשה בתחרויות מוגדרת מסה מינימלית של הרכב עם הנהג וזאת על מנת להקטין סכנות לנהגים.

2) כבידה: מסה יוצרת כוח משיכה.
כוח המשיכה שנוצר בין שני גופים שווה למכפלת המסות שלהם במספר קבוע (קבוע הכבידה) חלקי המרחק בין הגופים. כוח זהה פועל על כל אחד משני הגופים, אך כיוון הכוחות הפוך.
אם נסמן את הכוחות באותיות F1 ו-F2, מסות הגופים באותיות m1 ו-m2, המרחק בין הגופים באות r וקבוע הכבידה באות G, אז חוק הכבידה האוניברסלי ינוסח בצורה הבאה:

כל שני עצמים נמשכים זה לזה אבל קשה למדוד את כוח המשיכה הכבידתי בין עצמים קטנים על פני כדור הארץ משום שכוחות אחרים, כולל כוח הכובד של כדור הארץ עצמו, חזקים הרבה יותר. למעשה כוח הכבידה חלש מאוד יחסית לכוחות אחרים, כמו הכוח החשמלי והמגנטי, ולראיה מגנט קטן יכול להרים סיכת ברזל ובכך להתגבר על כוח המשיכה הכבידתי של כדור הארץ כולו. הסיבה לכך שהכבידה היא גורם משמעותי ביקום הגדול נובעת מכך שטווח ההשפעה שלה אינסופי ומכך שגרמי השמים אינם טעונים במטען חשמלי באופן משמעותי ואינם מייצרים כוח אלקטרומגנטי חזק.


חוק הכבידה האוניברסלי נמדד לראשונה בשנת 1797, אחרי מותו של ניוטון (ניוטון חי בשנים 1727-1642). בניסוי זה, הקרוי ניסוי קוונדיש, נמדד כוח המשיכה בין כדורי עופרת. מאז, תכונת ההתמד של המסה ותכונת הכבידה שלה נבדקו בניסויים רבים, אך מבחינה תאורטית הן שונות מאוד זו מזו ואינן נובעות בשום דרך האחת מהשנייה. על כן ניתן להניח שהן מגדירות גדלים שונים: מסת התמד ומסה כבידתית. אולם, מקובל להניח ששתי צורות המסה האלו שוות בגודלן.

המשקל הוא כוח המשיכה שנוצר בהשפעת הכבידה. משקלו של גוף תלוי במסתו, במסת הגוף שמושך אותו ובמרחק בינו ובין מרכז הגוף המושך. הירח פחות מסיבי מכדור הארץ וחישוב פשוט מראה שמשקל של עצם על פני הירח קטן בערך פי 6 יחסית למשקלו על פני כדור הארץ. מבחינתנו חשוב כרגע להבין שמשקלו של גוף על פני כדור הארץ יחסי למסתו.

אם המסה היא m המשקל הוא F=mg כאשר g הוא מספר קבוע התלוי במסת כדור הארץ, ברדיוס כדור הארץ ובקבוע הכבידה. אם נציב כוח זה בחוק השני של ניוטון נקבל ma=mg. בצד ימין של המשוואה מופיעה המסה הכבידתית ובצד שמאל מסת ההתמד. אם המסות שוות המסקנה הבלתי נמנעת היא שכל המסות על פני כדור הארץ נופלות בתאוצה זהה - זוהי תאוצת הכובד וערכה עומד בערך על 9.8 מטר לשנייה בריבוע.
  
מסופר על גלילאו גליליי שעלה למגדל פיזה הנטוי והשליך משם עצמים בעלי מסות שונות וכולן הגיעו לקרקע בו זמנית. הסיפור איננו נכון ולו משום העובדה שהתנגדות האוויר גורמת לכך שגם אם צורת העצמים זהה הרי שהעצם המסיבי יותר יפגע בקרקע ראשון. כיום ניתן לערוך ניסוי כזה במתקן ריק מאוויר על פני כדור הארץ, למשל במגדל פולטורם בברמן שבגרמניה המיועד למטרה זו, וניתן כמובן לערוך ניסוי כזה על הירח. בהיעדר אוויר כל העצמים שמופלים מגובה זהה פוגעים בקרקע בו זמנית, ולא חשוב מה המסה שלהם.



ניסוי הפלת נוצה ופטיש במסגרת משימת אפולו 15 על פני הירח

ההנחה שמסת ההתמד ומסת הכבידה שוות נקראת עקרון השקילות - העיקרון נבדק בניסויים רבים ועד עתה נמצא תמיד נכון. אלברט איינשטיין השתמש בעקרון השקילות כבסיס שממנו הוא בנה את תורת היחסות הכללית. הוא סיפר לימים שהמחשבה השמחה בחייו הייתה ההבנה שאדם הנופל מהגג לא מרגיש את כוח הכובד בעת הנפילה. תחושת ריחוף זו, שמהווה תוצא של עקרון השקילות, מתרחשת גם בתחנת החלל ואפילו בצניחה חופשית, לפחות בשניות הראשונות לפני שהמהירות מגיעה לערכה המקסימלי בגלל התנגדות האוויר.


ההיסטוריה של מושג המסה מעניינת במיוחד ומפתיע שאייזק ניוטון עצמו הגדיר את המסה בצורה שונה. את ההבנות שלו בנושא מכניקה הוא פירט בספרו פרינקיפיה או בשמו המלא: העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע. ניוטון בחר להגדיר את המסה בתור כמות או מידה של חומר השווה למכפלת צפיפות החומר בנפחו. הגדרה זו לוקה בשני חסרונות: המושג "כמות החומר" לכשעצמו הוא רב-משמעי ואינו נושא מידע שיכול להסביר מה זו מסה ובנוסף לכך מסה היא מושג בסיסי יותר מצפיפות ולא נכון להגדיר מסה דרך צפיפות, אלא להיפך. כיום אכן מקובל להגדיר צפיפות כחלוקת מסה בנפח. במרוצת הדורות הגדרת המסה בספרו של ניוטון זכתה לביקורת.

בכל הקשור לתכונת ההתמד של המסה זכות הראשונים ניתנת ליוהאנס קפלר שהתייחס כבר ב-1621 למכפלת הצפיפות בנפח (מסה) כהתנגדות לתנועה. אייזק ניוטון ניסח את החוק השני של התנועה בצורה שונה מזו המקובלת היום ובספרו הוא לא התייחס כלל למסה בהקשר לחוק השני. ניוטון כתב שהשינוי בתנועה יחסי לכוח המופעל מבלי לפרט מהו אותו שינוי בתנועה. בספרו ניוטון מגדיר את כמות התנועה, גודל שנקרא כיום תנע, בתור מכפלת המסה במהירות. אם הוא היה מנסח את החוק השני באמצעות הביטוי "שינוי בכמות התנועה (שינוי בתנע) שווה לכוח" הוא היה מדייק לחלוטין, משום שזה הניסוח הכללי והמקובל כיום של החוק השני, אך הוא בחר לרשום רק שינוי בתנועה, ועם השנים ניסוח זה נזנח. למעשה כבר בימי חייו נכתב החוק השני בספר אחר בצורת F=ma, כלומר באופן שמגדיר בצורה טובה את תכונת ההתמד של המסה.

אייזק ניוטון והתפוח (מקור: ויקימדיה)

ניוטון הקדיש חלקים נרחבים מספרו לניסוח חוק הכבידה האוניברסלי ולמסקנות הנובעות ממנו, כמו למשל תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש. בחלקים אלו של הספר הוא התייחס כמובן להשפעה הכבידתית של המסה כיוצרת כוח משיכה כבידתי. זו ללא ספק תרומתו הגדולה של הספר והחוק משמש במרבית חישובי הכבידה עד ימינו. אגב, הסיפור על התפוח של ניוטון נכון ברובו - תפוח שנפל לידו (ולא על ראשו!) גרם לו לתהות על כוח הכובד על פני כדור הארץ ועל ההשפעה של אותו כוח כובד על גרמי השמים. הסיפור המלא נרשם על ידי חברו של ניוטון, ויליאם סטוקלי:
אחרי הסעודה מזג האוויר נהיה חמים. הלכנו לגינה ושתינו תה מתחת לצל של כמה עצי תפוח, רק הוא ואני. בין דברים אחרים שעלו בשיחה הוא אמר לי שהוא היה בדיוק במצב כזה, מזמן, כשרעיון הכבידה עלה בראשו. "למה התפוח נופל תמיד בניצב לקרקע", הוא חשב לעצמו כשנכנס למצב מהורהר בעקבות נפילת תפוח. "למה שהוא לא ילך הצידה או למעלה? למה תמיד לכיוון מרכז כדור הארץ? הסיבה, ללא ספק, היא שכדור הארץ מושך אותו. חייב להיות כוח משיכה בחומר וסכום כוחות המשיכה בחומר שממנו עשוי כדור הארץ חייב להימצא במרכז כדור הארץ, לא בשום צד של כדור הארץ. לכן התפוח נופל בניצב לקרקע או לעבר מרכז כדור הארץ. אם חומר מושך כך חומר אז משיכת חומר חייבת להיות יחסית לכמות שלו. אם כך, התפוח מושך את כדור הארץ כמו שכדור הארץ מושך את התפוח". לכוח כזה אנו קוראים כוח הכובד והוא נפרש הרחק על פני היקום כולו. בעקבות אותה מחשבה הוא הרחיב בהדרגה את תורת הכבידה לצורך הבנת תנועת כדור הארץ וגרמי השמיים...
על אודות הגדרה נוספת של מסה שהופיעה רק עם פיתוח תורת היחסות אכתוב בפוסט הבא.

יום שני, 21 באוגוסט 2017

האם מסה היא כמות החומר?


במקומות רבים אני מוצא שהמסה מוגדרת בתור כמות החומר. אני משער שהגדרה זו באה להבחין בין מסה למשקל ולהראות שמסה היא תכונה שלא תלויה במקום שבו נערכת המדידה, כלומר היא תישאר זהה על פני כדור הארץ, על פני הירח ובחלל. אבל מה זה בעצם אומר "כמות החומר"?

הגדרה מדעית טובה צריכה לספק מידע על המושג שיאפשר לנו להבין אותו ולהשתמש בו בצורה נכונה. אני מצפה שההגדרה של מסה תאמר לנו אילו תכונות של עצמים יכולים לנבוע ממושג המסה ואולי אפילו תרמז על שיטות שבהן נוכל להשתמש על מנת למדוד אותה. אני מוצא כמה בעיות עם הגדרת המסה ככמות החומר.

הבעיה המרכזית בעיני היא שלמילה "כמות" יש כמה משמעויות, ועל כן השימוש במילה זו בהגדרה איננו חד משמעי. ראשית, "כמות" מתארת ערך של גדלים פיזיקליים בעזרת יחידות מדידה, למשל: כמות האנרגיה שצרכנו החודש היא 500 קוט"ש, כמות הזרם במעגל החשמלי היא 2 אמפר. שנית, משתמשים במילה "כמות" לציין תכונות בסיסיות של עצמים כמו נפח ומשקל. אנו יכולים לומר כמות החלב בכד היא 2 ליטר וכמות העגבניות שקנינו היא 3 קילוגרם-כוח. באותו הקשר, רווח גם השימוש במילה "כמות" לציון מסה, אבל זה לא עוזר לנו כי אם אנו כבר מגדירים כמות בתור מסה הרי שאם נגדיר מסה בתור כמות נקבל הגדרה מעגלית.

הערה: אמנם בחיי היומיום משתמשים בק"ג כיחידת משקל אך בשפה מדעית יש לייחד את הקילוגרם למסה ולהשתמש ביחידת הניוטון או ביחידת ק"ג-כוח למשקל. אני מוצא שהשימוש ביחידה ק"ג-כוח הוא נוח במיוחד משום שזה המשקל שפועל על מסה של ק"ג אחד על פני כדור הארץ.

כיוון שלישי הוא לייחס את המילה "כמות" למספר יחידות בתוך שלם, למשל כמות הדפים בערימה, ובפרט אנו מזהים מילה זו עם מספר החלקיקים המרכיבים גוף מסוים. כאן המקום להוסיף שלכמות חומר המתייחסת למספר החלקיקים כבר יש שם מדעי: מול. מול אחד של חומר כלשהו מתאים למספר מוגדר של חלקיקי החומר. מספר זה קרוי קבוע אבוגדרו ומדובר במספר עצום של חלקיקים: בערך 6 ואחריו 23 אפסים שזה יותר ממיליארד כפול מיליארד כפול מאה אלף.

אבל לצורך הדיון בואו נניח שגם המסה מתייחסת למספר החלקיקים. הגדרה זו אינה שלמה כי עדיין חסרה הגדרה בסיסית למושג המסה שתאפשר לנו להבין מה המשמעות שחלקיק יסודי אחד מסיבי יותר ממשנהו. במילים אחרות, מספר החלקיקים לא נותן לנו את המסה מבלי שנדע את המסה של החלקיקים היסודיים שמהם מורכב החומר: אלקטרון, פרוטון ונייטרון.

יתרה מכך, מסה של אטום בודד איננה סכום המסות של הפרוטונים, הנייטרונים והאלקטרונים המרכיבים אותו אלא קטנה מסכום זה. הפרש המסות הוא המקור לגודל שנקרא אנרגיית הקשר. ככל שאנרגייה זו גדולה יותר באופן יחסי כך האטום יציב יותר והוא יוכל להוות תוצר של תהליכים גרעיניים שעוברים אטומים פחות יציבים. אנרגיית הקשר היא בעצם האנרגיה המשתחררת בכור גרעיני או בפצצה גרעינית.

בנוסף לכל זאת יש לי גם בעיה עם המילה חומר בהגדרה "כמות החומר". בהתאם לתורת היחסות מסה שקולה לאנרגיה (עוד על כך בפוסטים הבאים). גם חלקיקי קרינה, כמו למשל חלקיקי האור הקרויים פוטונים, נושאים עמם אנרגיה ולכן מסה יכולה להתייחס לכל סוגי החלקיקים ולא רק לחלקיקי חומר. עקב כך, השימוש בהגדרה המתייחסת לכמות החומר בלבד, מבלי להתייחס לקרינה, איננו מלא.

אז איך בכל זאת ניתן להגדיר מסה? על כך בפוסט הבא...

יום שישי, 13 באפריל 2012

חינוך מדעי בדרום

לפני כמה שבועות פנתה אלי מישהי שעובדת בטלוויזיה ורצתה להיפגש איתי בדחיפות על מנת לדבר איתי על נושא מסוים. היא שאלה אותי מתי המועד הקרוב ביותר שבו אהיה במרכז או לפחות קרוב למרכז. בתמימותי עניתי לה שלמחרת אני מגיע לקריית מלאכי. אחרי רגע של מבוכה הבנתי שהיא לא בדיוק יודעת איפה זה או לפחות חושבת שקריית מלאכי נמצאת אי שם בדרום הרחוק והמופגז. בסופו של דבר קבענו להיפגש בשבוע הבא בגוש דן המצומצם.

המקרה הזה הזכיר לי עד כמה תושבי המרכז, או לפחות חלקם, מנותקים מיתר הארץ. הרי הנסיעה מתל אביב לקריית מלאכי לא אורכת יותר מ-40 דקות. למעשה, אני נוסע כמה פעמים בשבוע מביתי בליבנה, שנמצאת בין באר שבע לערד, לאזור המרכז וצפונה ממנו, והנסיעה לא אורכת יותר משעה ו-45 דקות. אגב, זה פרק זמן מצוין עבורי לחזור בראש על ההרצאה, לשנן את הדגשים שאני רוצה להעביר ולהגיע מוכן וממוקד לפעילות.

אחת הסיבות שבגינן עברנו מרחובות לליבנה לפני כמה שנים הייתה הרצון לקדם את החינוך המדעי בדרום, ואנו אכן מנסים להעביר כמה שיותר פעילויות באזור הנגב. אגב, ההבדל בחשיפה למדע בין תושבי הדרום למרכז הוא גדול. התלמידים שאנו פוגשים בדרום נחשפים למדע בעיקר דרך הטלוויזיה ופחות באופן של ניסויים עצמיים, ואילו התלמידים במרכז שמתעניינים במדע יכולים בדרך כלל למצוא חוגים או פעילויות העשרה קרוב לבית, ולחוות את המדע באופן ישיר ובלתי-אמצעי.

נגינה עם מצקת על קרח יבש בפעילות לילדים והורים שנערכה בדרום

אני בכוונה לא מתייחס כאן ללימודי המדע בבתי הספר, כי הרמה שלהם בכל הארץ נמוכה למדי. למעשה, עד בית הספר התיכון החשיפה למדע אמיתי, שיכול לשמש את התלמידים מאוחר יותר בלימודים גבוהים באוניברסיטה, היא אפסית. ההבדל, לדעתי, בין המרכז לפריפריה אינו נובע מרמת הלימודים בבית הספר, אלא מההיצע של פעילויות ההעשרה במדעים ובתחומים אחרים, והיצע זה יוצר פער ברמת הידע הממוצעת.

מצד שני, רמת הסקרנות של התלמידים שאנו פוגשים בדרום היא אדירה. זהו כיף אדיר עבורנו ללמד אותם, לבנות איתם ניסויים ולבצע איתם פעולות חקר. הסיפוק שלנו נובע בעיקר מרמת העניין שהתלמידים מגלים כשהם נחשפים לחומרי ניסוי מיוחדים ולציוד מעבדתי מתקדם. בקורסים שנמשכים שבועות או חודשים אפשר להבחין בעלייה תלולה ברמת הידע ובהתפתחות של מוטיבציה ללמוד מדע בעתיד, ולא פחות חשוב - ניתן לראות שינויים בדפוסי החשיבה שהופכים להיות מדעיים וביקורתיים יותר.

כשג'ודי שאלה תלמידה שלה בסיום הקורס מה תרצי לעשות כשתהי גדולה, הילדה ענתה: "אני רוצה להיות מדענית - כמוך". האם יש סיפוק חינוכי גדול מזה?

יום חמישי, 12 באפריל 2012

החלקיק המהיר מהאור והשגיאה השיטתית

חבל, אבל החדשות הפיזיקליות החשובות של חצי השנה האחרונה התבררו כשגיאת מדידה.

בספטמבר 2011 התפרסמו התוצאות הראשוניות של ניסוי אופרה (OPERA) הממוקם מתחת להר גראן סאסו שבאיטליה. נטען שם שחלקיקי נייטרינו אשר יצאו מהמעבדות של CERN שעל גבול שווייץ-צרפת ונקלטו בגראן סאסו נעו במהירות גדולה יותר מהאור. לא בהרבה - רק ב-7.5 ק"מ לשנייה מהר יותר מהאור שנע בריק במהירות של כמעט 300 אלף ק"מ לשנייה - אך בכל זאת זו הייתה תוצאה מדהימה כי מעולם לא נצפה חלקיק מהיר יותר מהאור.

המסלול של חלקיקי הנייטרינו מ-CERN למעבדה מתחת להר גראן סאסו, מקור: ניסוי OPERA

זה המקום להעיר שתורת היחסות הפרטית של איינשטיין לא אוסרת על חלקיקים להיות מהירים מהאור. היא אוסרת על חלקיקים שהיו אטיים מהאור להגיע למהירות האור או לעבור אותה, אבל חלקיק שהחל את חייו במהירות גדולה מהאור יכול להמשיך ולנוע במהירות על-אורית. לחלקיקים היפותטיים כאלו קוראים טכיונים, וגם אם אין חוק פיזיקלי שאוסר על קיומם, בכל זאת הם מהווים בעיה משום שבעזרתם ניתן להעביר מידע לזמן עבר. רעיון למתקן תקשורת שכזה הועלה לפני שנים וזכה לכינוי אנטי-טלפון. באמצעותו ניתן יהיה לקבל מבן השיח תשובה לשאלה עוד לפני ששאלת אותה. הבעיה היחידה של האנטי-טלפון היא שפעולתו מנוגדת לעקרון הסיבתיות, לפיו תוצא לא יכול להקדים את הסיבה ליצירתו. מצד שני, אולי עקרון הסיבתיות שגוי?

הנייטרינו הוא חלקיק מרתק - הוא כמעט חסר מסה, מחליף את זהותו עם הזמן וכמעט שלא עובר אינטראקציה עם חלקיקים אחרים. לכן הוא יכול לעבור דרך סלעים "כאילו הם היו אוויר". בניסוי אופרה השתמשו בתכונה הזו ואפשרו לחלקיקי הנייטרינו לעבור מרחק של כ-730 ק"מ בתוך כדור הארץ. אחוז זעיר מחלקיקי הנייטרינו שהגיעו לאופרה הגיבו עם החומר בגלאי ותוצרי התגובה נקלטו בגלאים. למעשה המטרה העיקרית של הניסוי הייתה למדוד את שינויי הזהות של הנייטרינו. החלקיק הזה יכול להופיע בשלוש צורות - נייטרינו אלקטרוני, נייטרינו מיואוני ונייטרינו טאו - והניסוי נועד למצוא את אחוז הנייטרינו שהופכים מנייטרינו מיואוני לנייטרינו טאו. תוך כדי כך הבינו החוקרים שיש בידיהם כלים למדוד באופן מדויק את מהירות התנועה של הנייטרינו.

בהתחלה הייתי סקפטי, אבל כשקראתי את המאמר לא מצאתי בו דופי והשתכנעתי שהם עשו עבודה טובה. למעשה, החוקרים פיתחו שיטה סטטיסטית מתוחכמת שבעזרתה הם יכלו למדוד את משך התעופה הממוצע של חלקיקי הנייטרינו מ-CERN לגראן סאסו, אף על פי שהם לא יכלו לדעת באופן חד-משמעי מתי הנייטרינו הספציפי נוצר, אלא רק לדעת מהי הקבוצה של חלקיקי הנייטרינו שממנה הוא הגיע. לטעמי הייתה רק בעיה אחת שהטילה ספק בתוצאות הניסוי: המדידה של OPERA עמדה בסתירה למדידה אסטרונומית מ-1987 שבה חלקיקי נייטרינו שמקורם בסופרנובה (SN1987A) התגלו בגלאים על פני כדור הארץ כמעט במקביל לתצפית בחלקיקי האור שנוצרו באותה סופרנובה, כלומר חלקיקי הנייטרינו לא נעו מהר יותר מהאור.

לתלמידים שלי סיפרתי שאני מתלהב מהתוצאות, אבל מציע להמתין למדידות של ניסויים אחרים ולבדיקה מעמיקה של המכשור בניסוי אופרה לפני שמתחילים בבניית אנטי-טלפון. הרי תוצאות יוצאות דופן דורשות ראיות חזקות לנכונותן.

 הגלאים של ניסוי OPERA. מקור: ניסוי OPERA

ההתלהבות לא ארכה זמן רב - בפברואר 2012 הודו חברי אופרה שחיבור של סיב אופטי ששימש במערכת התזמון היה לקוי. זמן קצר אחר כך התפרסמו תוצאותיו של ניסוי ICARUS שממוקם אף הוא מתחת לגראן סאסו, ולפיהן מהירות חלקיקי הנייטרינו לא עברה את מהירות האור.

אם כך, מקור התוצאות המפתיעות של ניסוי אופרה הוא בטעות מדידה. למעשה, השגיאה הסטטיסטית שלהם הייתה נמוכה דיה, אך הם לא העריכו נכון את השגיאה השיטתית (שגיאה סיסטמטית), זו שנובעת מהמכשור עצמו. השגיאה הסטטיסטית היא גודל שתלוי בכמות המדידות - ככל שנמשיך את הניסוי נוכל להוריד את השגיאה הסטטיסטית, משום שמדידות נוספות מקטינות אותה. לעומת זאת, גודלה של השגיאה השיטתית תלוי ברמת הדיוק של המכשור עצמו וביכולת של הנסיינים להעריך מקורות שגיאה נוספים, כמו למשל חיבור לא תקין של סיב אופטי...

למרבה הצער לא קיימת כיום שיטה טובה להעריך שגיאות שיטתיות שגורמות להטיה של המדידות, ואני אף סבור שזו אחת הבעיות הקשות של הפיזיקה הניסיונית. אני חושש שבפועל מדידות רבות פחות מדויקות ממה שמדווח במאמרים המדעיים, בגלל הערכה שגויה של השגיאה השיטתית. זה אומר, בעצם, שיש לקחת בערבון מוגבל את גודל השגיאה המתפרסמת בספרות המדעית.

באתר של Particle Data Group, המסכם את הנתונים הנמדדים של החלקיקים המוכרים, מופיעים גרפים היסטוריים של מדידות שונות (קישור לקובץ pdf). במספר מקרים המדידה הנוכחית רחוקה מאוד מהמדידות המוקדמות של אותו גודל, וזה הגיוני, אבל הנקודה המעניינת היא שבאותן מדידות מוקדמות השגיאה המדווחת הייתה קטנה יחסית, כלומר הערך המקובל כיום נמצא מעבר לטווח השגיאה של אותן מדידות ישנות. המסקנה היא שבאותם ימים לא העריכו נכון את השגיאה, כנראה את השגיאה השיטתית, ולא מן הנמנע שגם כיום אנו לא מעריכים נכון את השגיאות השיטתיות בחלק מהניסויים. יחד עם זאת, אני לא חושב שהבעיה הזו ממעיטה בערכן של מדידות, וביכולת שלנו לבצע מדידות מתוחכמות, אלא מציבה אותן באור מציאותי.

אגב, במקרה הנוכחי, של החלקיק המהיר מהאור, אני לא חושב שהפרסום הראשוני היה מוקדם מדי, כי הוא דווקא עורר עניין, האיץ את חברי הניסויים המקבילים לבדוק את מהירות הנייטרינו וחייב את אנשי אופרה לבצע בדיקות מקיפות של הציוד שלהם ושל שיטות הניתוח. מצד שני, בדיעבד אנו יודעים שההערכה של השגיאה השיטתית שהם מסרו הייתה אופטימית מדי, ומן הראוי היה שהם יהיו צנועים יותר ולפחות בשלב הראשון ידווחו על שגיאה שיטתית ריאלית יותר.

אני משער שביום מן הימים תהיה לנו יכולת טובה ומדויקת יותר להעריך את גודלה של השגיאה השיטתית, או במילים אחרות אני מקווה שבעתיד נמצא דרך לחשב את השגיאה השיטתית באופן שיטתי.

יום שבת, 27 באוגוסט 2011

האם ניתן לראות את החומה הגדולה מהחלל?

הטענה כי החומה הגדולה של סין היא העצם היחיד מעשה ידי אדם שניתן לראות אותו מהחלל מוזכרת בספרים, באמצעי תקשורות שונים וכמובן באינטרנט.

קטע מהחומה הגדולה של סין ליד בייג'ינג. צלם: נתי דינור

האם זה נכון? האם בכלל ניתן לראות את החומה הגדולה מהחלל?
בגדול, התשובה היא: כנראה שלא ניתן להבחין בה בעין, ללא טלסקופ.

למעשה, אם מתרחקים מכדור הארץ, גם טלסקופ לא יועיל. רוחבה של החומה הגדולה אינו עולה על 10 מטרים, ולכן מהירח, שמרוחק מאיתנו בערך 400 אלף ק"מ לא ניתן להבחין בה גם אם ייעשה שימוש בטלסקופ הגדול ביותר הקיים. בעזרת טלסקופ האבל, המוצב בחלל ואינו נתון למגבלות הרזולוציה שגורמת האטמוספירה של כדור הארץ, ניתן להבחין על הירח בפרטים שגודלם כמאה מטר לפחות (למשל אזור הנחיתה של אפולו 17). בתנאים אידאליים, על מנת לראות עצם שרוחבו כ-10 מטרים על כדור הארץ יהיה צורך להציב על הירח טלסקופ בקוטר של 25 מטרים, בעוד שקוטר העדשה הראשית של הטלסקופ האופטי הגדול ביותר הקיים כיום היא 10 מטרים. בפועל גם זה לא יספיק, כי האטמוספירה שלנו פוגעת בכושר ההפרדה.

ממסלול קרוב לכדור הארץ, למשל מהמסלול של תחנת החלל הבינלאומית שמשייטת מעלינו בגובה של כ-400 ק"מ, ניתן להבחין בפרטים רבים על פני כדור הארץ ובעזרת מצלמה המחוברת לטלסקופ ניתן להבחין אפילו בבתים ובמכוניות. לראייה, ניתן לעקוב בעזרת תוכנת Google Earth, שעושה שימוש בתצלומי לוויין המוצב בגובה של 700 ק"מ, אחרי תוואי החומה. מצד שני, אין דיווח ודאי של אסטרונאוט שראה את החומה במו עיניו, ללא אמצעים אופטיים, ואפילו יאנג ליוויי, הטייקונאוט הסיני הראשון, נאלץ להודות שהוא לא ראה את החומה מהחלל.

קטע מהחומה הגדולה של סין בחלקה המזרחי. צלמת: Annie Lou

הבעיה היא לא רק שהחומה צרה מדי על מנת להבחין בה בעין, אלא גם שצבעה אינו שונה בדרך כלל באופן מהותי מצבע הסביבה, כלומר אין ניגודיות טובה מספיק על מנת להבחין בה. על מנת לראות את החומה יש צורך להתמקד באזור שצבעו שונה מאוד מצבע החומה. אם כן, בעין עדיין לא ראו את החומה מהחלל, וספק אם יצליחו לראות אותה, אבל בעזרת מצלמה עם זום קטן הצליחו להבחין בקטעים של החומה הגדולה. בתמונה הבאה שצולמה ב-2004 מתחנת החלל הבינלאומית בעזרת עדשת 180 מ"מ (שקול לזום של פי 5) מסומנים שני קטעים של החומה בעזרת חצים אדומים וקטע נוסף שאין ודאות לגבי הזיהוי שלו בעזרת חץ צהוב.

קטעים של החומה הסינית הגדולה בצילום מתחנת החלל הבינלאומית בשנת 2004. החצים האדומים מצביעים על קטעים של החומה שזוהו בוודאות והחץ הצהוב מצביע על קטע נוסף שקשה יותר להבחין בו. מקור: נאס"א

אין ספק שגם אם רואים את החומה בתצלום הזה, היא לא נראית כל כך מרשימה. יותר משמעותית בעיני היא העובדה שאסטרונאוטים יכולים להבחין מהחלל בהשפעת האדם על כדור הארץ - לטוב ולרע. הם יכולים לראות שדות תבואה ענקיים שהחליפו שטחים מדבריים, הם יכולים להבחין באורות מעשה ידי אדם, ולהבדיל הם גם יכולים לראות את ימת אראל שהתייבשה כמעט לחלוטין עקב הטיית הנהרות שהזינו אותה והם יכולים להבחין בשטחים ענקיים של יערות שנכרתו באזורים הטרופיים.

מצרים וישראל בלילה בצילום מתחנת החלל הבינלאומית. מקור: נאס"א

לקריאה נוספת: China's Wall Less Great in View from Space באתר של נאס"א

יום שישי, 26 באוגוסט 2011

צירופי מקרים

לא מזמן סיפרתי לילדים שלי על חבר ילדות ועל כמה הרפתקאות שהיו לי איתו יחד. כמה ימים אחר כך קיבלתי מייל מאותו חבר אחרי שלא ראיתי אותו בערך 25 שנה. אני עוד לא יודע איך הוא מצא אותי, אבל אני חייב להודות שהתרגשתי, גם מהמייל וגם מצירוף המקרים.

באותו שבוע התעוררתי בוקר אחד לאחר שחלמתי חלום מוזר שבו הופיע עמית מעבודה קודמת שלי. בערב של אותו יום התקשר אלי האיש, אחרי שלא דיברנו כמה שנים, ובפיו בקשה מוזרה. מרוב תדהמה בקושי יכולתי לדבר. צריך להוסיף שהאיש מעולם לא התקשר אלי קודם לכן, ולמען האמת אנחנו בכלל לא היינו מיודדים.

אלו הם שני צירופי מקרים שנראו לי מדהימים אז ועדיין מדהימים אותי היום. אבל אם אני חושב לעומק אז אולי אין צורך להתלהב כל כך. אני הרי מספר לילדים שלי סיפורים בכל יום כמעט - בחלקם מופיעות דמויות היסטוריות, חלקם סיפורים דמיוניים וחלקם עוסקים במכרים שלי. לא מן הנמנע שמדי פעם ייווצר קשר מחודש עם אחד מאותם חברים ותיקים שלי, ולא מן הנמנע שלפחות פעם אחת זה יקרה זמן קצר אחרי שאני נזכר בו ומספר עליו. בואו נגיד שאם המלכה אליזבת הייתה מתקשרת אלי בדיוק כשסיפרתי לילדים על בית המלוכה האנגלי הייתי אמור להיות קצת יותר מופתע.

ומה לגבי החלום? בכל לילה אנו חולמים כמה חלומות. אני בדרך כלל זוכר באופן קלוש חלום אחד או שניים במשך אותו יום ואז שוכח. החלום ההוא נחרט בזכרוני רק מפני שבערב מושא החלום התקשר אלי. הגיוני שאירוע כזה יקרה פעם בכמה זמן, גם כשמדובר באדם שאני לא נמצא איתו בקשר.

אני אוהב לשמוע על צירופי מקרים וכשקורה לי צירוף מקרים מעניין אני זוכר אותו לזמן רב. אני חושב שרבים מאתנו נוטים לזכור את צירופי המקרים בגלל החן שבהם, ולא זוכרים את המקרים הרבים מאוד מאוד שבהם צירופי מקרים לא התרחשו.

קשה למצוא דרך הסתברותית מדויקת שבעזרתה ניתן יהיה לקבוע מהו צירוף מקרים אמיתי שהסיכוי להתרחשותו הוא אכן אפסי. כבר היה מי שקבע, ספק בהומור, כי כל אדם צפוי לחוות נס פעם בחודש. הקביעה הזו קרויה חוק ליטלווד והיא מבוססת על החישוב הבא: נניח שההסתברות להתרחשותו של נס היא אחד למיליון; אם אדם ערני לסובב אותו במשך 10 שעות ביממה, אז בחודש יש לו כמיליון שניות של ערנות; לכן הגיוני שהוא יחווה נס בערך פעם בחודש. אני לא נכנס פה לחישובי הסתברות מדויקים משום שהחוק הזה לא נועד להיות מדויק, אבל הרעיון מובן: הגיוני שיקרו לנו כמה צירופי מקרים מדי שנה.

ולמרות כל זאת, אני נהנה להיזכר בשני צירופי המקרים שקרו לי באופן אישי לא מזמן, ולמי שמעוניין לקרוא על כמה צירופי מקרים היסטוריים מדהימים במיוחד אני ממליץ על הרשימה צירוף מקרים: תעלומה או עניין של הסתברות מתוך הבלוג רשימות מן התיבה הלבנה של יהודה בלו.