יום שישי, 7 במאי 2010

הכדורסל שהגיע רחוק

טכנוראש היא אחת מתחרויות המדע המקוריות, המאתגרות והמשעשעות שיש לנו בישראל. השנה נדרשו המתמודדים לבנות מתקן שיחובר למטוטלת גדולה. המטוטלת עשויה מחבל באורך של 10 מטרים, וקצה החבל מגיע לגובה של מטר וחצי מעל פני הקרקע כשהמטוטלת נמצאת במצב אנכי. כל מתמודד מחבר את המתקן שבנה אל החבל של המטוטלת באמצעות טבעת וחוט ומביא את המטוטלת לזווית של 30 מעלות יחסית לאנך. זוהי נקודת שיא הגובה של המטוטלת. המתמודד משחרר את המתקן המחובר למטוטלת מנקודת שיא הגובה, והחוט המחבר את המתקן אל המטוטלת משתחרר כשהמטוטלת מגיעה למצב אנכי, כלומר במצב של גובה מינימלי יחסית לקרקע ומהירות אופקית מקסימלית. המתקן ינוע זמן מה באוויר, ואחר כך הוא חייב לנוע לפחות מטר וחצי על פני הקרקע. המנצח הוא זה שהמתקן שלו מגיע למרחק המקסימלי מהמטוטלת.

הסרטון הבא מראה אנימציה של המטוטלת ששימשה את המתחרים:



אנסה לנתח את ביצועי המתקן הזוכה, אך לפני כן סרטון שמסכם את התחרות:



מתקן המבוסס על כדור או גלגלים הוא בחירה הגיונית, משום שחפץ עגול יכול לנוע על פני הקרקע למרחק גדול יחסית. הסיבה לכך היא שגלגל אידאלי לא מאבד אנרגיה כתוצאה מחיכוך, כל עוד הוא מתגלגל ואינו מחליק. אומנם, קיימת התנגדות לגלגול, הנובעת מכך שהגלגל עובר דפורמציה מסוימת בעת המגע עם הקרקע והוא כבר אינו עיגול מושלם, אך התנגדות זו קטנה בדרך כלל. לעתים גם הקרקע עוברת דפורמציה, למשל אם מדובר בקרקע לא קשיחה. גורם נוסף שיש לקחת בחשבון הוא שקרקע לא ישרה תגרום להתנגדות גבוהה יותר לגלגול. כפי שניתן לראות בסרטון, חלק גדול מהמתחרים אכן ניסו לבנות מתקן המבוסס על גלגלים או כדורים, כלומר הם הניחו שההתנגדות לגלגול קטנה מחיכוך רגיל.

לדעתי, בהתחשב בתנאי התחרות יש יתרון לכדור על פני גלגל ואפילו על פני זוג גלגלים. זאת משום שכדור ינחת בוודאות במצב שיאפשר לו להמשיך להתגלגל, ואילו מערכת המבוססת על גלגלים עלולה לנחות בזווית שתגרום לעצירה מיידית. המנצח, אלק ליסיאנסקי, אכן בחר בכדור, או ליתר דיוק בכדורסל. הרעיון שלו נהדר: הוא בנה מתקן שמקנה לכדורסל מהירות סיבובית בנוסף למהירות הקווית שהוא מקבל מהמטוטלת. הכדורסל של אלק הגיע למרחק של כמעט 42 מטרים מהמטוטלת - הישג מרשים שהקנה לו את המקום הראשון ביתרון של 5 מטרים על פני המקום השני.

המתקן של אלק מזכיר את משחק היו-יו שמקבל מהירות סיבובית כשמשחררים אותו מהיד. למתקן כזה שני יתרונות מרכזיים: הוא מאפשר גלגול במהירות אופטימלית כשהכדור מתייצב על הקרקע, והוא מקנה לכדור יציבות גירוסקופית. יציבות גירוסקופית היא הנטייה של עצם שמסתובב במהירות גדולה לשמור על ציר הסיבוב, ובמקרה שלנו להמשיך להתגלגל בקו ישר קדימה מבלי לסטות לכיוון הדשא.

אני חוזר ליתרון הראשון של המתקן הזוכה. אם רדיוס הכדור הוא r מטרים ומהירותו הסיבובית היא w (ביחידות של רדיאנים לשנייה), אזי מהירותו הקווית (ביחידות של מטרים לשנייה) היא: v=wr. אם המתקן בנוי בצורה אופטימלית, המהירות הסיבובית והמהירות הקווית של הכדורסל בעת הנחיתה על הקרקע יתאימו לנוסחה זו. אחרת, תתרחש בשלב הראשון החלקה, הגוררת איבוד אנרגיה, עד שהכדור יגיע למצב שבו הנוסחה מתקיימת. במילים אחרות, כדור שמסתובב מהר מדי יאבד אנרגיה בצורת האטת מהירות הסיבוב, ואילו כדור שמסתובב לאט מדי יאבד אנרגיה בצורת האטת המהירות הקווית.

נקודה מעניינת נוספת היא הבחירה בכדורסל. כדורסל הוא כדור אלסטי שקופץ לפני שהוא מתחיל להתגלגל. היות שההתנגשות אינה אלסטית לחלוטין, כל קפיצה גורמת להפסד אנרגיה. מצד שני, במקרה הנוכחי יש יתרון לקפיצה על פני גלגול, משום שהמשטח עשוי ממרצפות, והרי משטח לא אחיד גורם לאיבודי אנרגיה בעת גלגול. בסופו של דבר הכדור מפסיק לקפוץ ומתחיל להתגלגל. אני מתאר לעצמי שאם המשטח היה ישר לגמרי, ללא מהמורות, עדיף היה להשתמש בכדור פחות אלסטי שיתחיל להתגלגל עם המגע הראשוני שלו בקרקע.

נקודה אחרונה שחשבתי עליה אחרי שראיתי את המתקן המנצח: עדיף היה, לדעתי, להשתמש בכדור בעל מומנט אינרציה קטן יותר, כלומר כדור שהמסה שלו מרוכזת במרכז, ולא על פני ההיקף כמו בכדורסל. גוף בעל מומנט אינרציה נמוך יותר נע מהר יותר, משום שמרבית האנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית הופכת לאנרגיה קינטית קווית ולא לאנרגיה קינטית סיבובית. זו הסיבה לכך שגליל מלא נע מהר יותר במורד מגליל חלול (בקישור ניתן לראות את החישוב במקרה של גליל).

כעת, עוד משהו נחמד לסיום. הזכרתי את משחק היו-יו. המתקן הזוכה של אלק פועל בצורה דומה למה שקורה בתרגיל walk the dog - תרגיל בסיסי לחובבי היו-יו:



תגובה 1:

יגאל אמר/ה...

התרשמתי מהפשטות של המכונה הזוכה. הרבה פעמים הפתרון הפשוט הוא המנצח.